部分題目僅憑印象重新敘述，

故與原始題目僅題意相同、但敘述不同。

如有記錯或疏漏，還請不吝告知。

5/10, 00:43 AM 新增計算題一題。

感謝 Kapa 老師提醒數據的錯誤，已修正！^__^

感謝 oscar 提醒數據錯誤，已修正！ ^__^

感謝 ptt 網友 moun9 提醒填充第一題敘述有漏，已修正！感謝。 ^__^

感謝 八神庵 提醒打字疏漏的地方！！ ^__^

計算題，第 1 題

題目：

設 \(a,b\) 為實數，且 \(x^2-ax+b=0\) 之兩根為 \(x_1,x_2\)，且 \(-1 \leq x_1 \leq 1 , 1 \leq x_2\leq 2.\)
　　（ａ） 設滿足上述條件之 \(\left(a,b\right)\) 所在之區域為 \(I\)，在坐標平面上畫出 \(I\) 的圖形.
　　（ｂ）設 \(u=x-3y\)，其中 \(x,y\in I\)，求 \(u\) 之最大值與最小值.


解答：

（ａ）

依題意，可得

　　\(\left\{\begin{array}{ccc}\mbox{判別式}=a^2-4b\geq0\\ 0\leq a=x_1+x_2\leq3\\ -2\leq b=x_1x_2\leq 2\end{array}\right.\)

且若令 \(f(x)=x^2-ax+b\) ，則 \(y=f(x)\) 為開口向上拋物線

且 \(y=f(x)\) 與 \(x\) 軸的兩交點分別落在 \(x\) 軸上的 \([-1,1]\) 與 \([1,2]\) 兩區間內各有一個，

\(\Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc}f(-1)&=&1+a+b\geq0\\ f(1)&=&1-a+b\leq0\\ f(2)&=&4-2a+b\geq0\end{array}\right.\)

以 \(a\) 為橫軸、\(b\) 為縱軸，畫出圖形所圍區域 \(\triangle ABC\) 即為 \(I.\)

qq.png (30.56 KB)

2012-5-16 21:23

（ｂ）線性規劃，用頂點法將 \(\triangle ABC\) 的三頂點帶入，可得 \(u\) 的最大值與最小值。


註：感謝 Ellipse 於後方回覆中提醒繪圖中某直線位置錯誤，已修正！

第五題

過 \(\left(0,0\right)\) 恰有三相異直線與 \(y=x^3+ax^2+1\) 相切，則 \(a\) 之範圍為？



解答：

令 \(f(x)=x^3+ax^2+1\)，則

\(f'(x)=3x^2+2ax\) 且 \(f''(x)=6x+2a\)

\(y=f(x)\) 有水平切線的兩個點為 \((0,1)\) 及 \(\displaystyle\left(\frac{-2a}{3},f\left(\frac{-2a}{3}\right)\right)\)

反曲點為 \(\displaystyle\left(\frac{-a}{3},f\left(\frac{-a}{3}\right)\right)\)

case i: 當 \(a\leq0\) 時，

　　　至多只有一條 \(y=f(x)\) 的切線會通過原點.

case ii: 當 \(a>0\) 時，

　　　通過反曲點的切線必須要在原點的下方，才會使得 \(y=f(x)\) 有三條切線通過原點.

　　　所以，\(\displaystyle y-f\left(\frac{-a}{3}\right)=f'\left(\frac{-a}{3}\right)\left(x-\frac{-a}{3}\right)\) 在原點的下方，

　　　\(\displaystyle\Rightarrow -f\left(\frac{-a}{3}\right)>f'\left(\frac{-a}{3}\right)\cdot\left(\frac{a}{3}\right)\)

　　　\(\Rightarrow a>3.\)

由上二者，可得 \(a>3.\)



以上想法如有疏漏，煩請不吝指教，感激。

填充第 3 題

題目：

已知 \(z_1,z_2\) 是複數，且 \(z_1+z_2=-\cos\theta, z_1^2+z_2^2=3-2\csc^2\theta-\sin^2\theta\)，其中 \(45^\circ\leq\theta\leq60^\circ\)，若 \(\left|z_1\right|\) 的最大值為 \(M\)，最小值為 \(m\)，則數對 \(\left(M,m\right)=?\)

解答：

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc}z_1+z_2&=&-\cos\theta\mbox{...（1）}\\ z_1^2+z_2^2&=&3-2\csc^2\theta-\sin^2\theta\mbox{...（2）}\end{array}\right.\)

將（1）平方之後與（2）相減，可得 \(z_1z_2=\cot^2\theta.\)

所以，\(z_1\) 與 \(z_2\) 為實係數一元二次方程式 \(z^2+\cos\theta z+\cot^2\theta=0\) 的兩根，

因為其判別式\(=\cos^2\theta-4\cot^2\theta=\left(\cos^2\theta-\cot^2\theta\right)-3\cot^2\theta<0,\;\;\forall 45^\circ\leq\theta\leq60^\circ.\)

所以，\(z_1\) 與 \(z_2\) 為共軛複數，

因此 \(\left|z_1\right|^2=z_1\cdot z_2=\cot^2\theta\)

　\(\Rightarrow \cot^2 60^\circ\leq\left|z_1\right|^2\leq \cot^2 45^\circ\)

　\(\displaystyle\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3}\leq\left|z_1\right|\leq1.\)


以上想法如有疏漏，煩請不吝指教，感激。




註：感謝 Ellipse 提醒小弟數字上的錯誤！感謝～ ^__^

填充第 1 題

設 \(ABCD\) 為正四面體，\(\triangle ABC\) 內部有一點 \(E\)，點 \(E\) 到 \(\triangle DAB, \triangle DBC, \triangle DCA\) 距離之和為 \(m\)，

點 \(E\) 到 \(\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}\) 距離之和為 \(M\)，求 \(\displaystyle\frac{m}{M}.\)



解答：

設此正四面體任兩面夾角為 \(\theta\)，則　\(\displaystyle\cos\theta=\frac{1}{3}\)　且


\(\displaystyle\frac{\mbox{「E 到 ΔDAB 的距離」}}{\mbox{「E 到 AB稜線的距離」}}\)

　\(\displaystyle=\frac{\mbox{「E 到 ΔDBC 的距離」}}{\mbox{「E 到 BC稜線的距離」}}\)

　\(\displaystyle=\frac{\mbox{「E 到 ΔDCA 的距離」}}{\mbox{「E 到 CA稜線的距離」}}\)

　\(=\sin\theta\)

　\(\displaystyle=\frac{2\sqrt{2}}{3},\)



再用和比性質，可得所求亦為  \(\displaystyle\sin\theta=\frac{2\sqrt{2}}{3}.\)

計算題第 4 題：見 thepiano 老師回覆 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1437 當中的第二題即是。


計算題第 5 題：

我的轉移矩陣是 \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}\displaystyle \frac{1}{3}&\frac{1}{3}&0\\ \frac{2}{3}&\frac{1}{2}&1\\ 0&\frac{1}{6}&0\end{array}\right]\)

其中上方的三的狀態分別是甲有 50+50元、100+50元、100+100元，

轉移後的左方三的狀態分別是甲有 50+50元、100+50元、100+100元。

而初始矩陣 \(\displaystyle X_0=\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right]\)

因為 \(\displaystyle A^3X_0=\left[\begin{array}{c}\displaystyle \frac{11}{36}\\ \frac{127}{216}\\ \frac{23}{216}\end{array}\right]\)

所以，第三局結束時，甲袋中有 150 元的機率為 \(\displaystyle \frac{127}{216}.\)

第三局結束時，甲袋中金額的期望值為 \(\displaystyle 100\times \frac{11}{36}+150\times\frac{127}{216}+200\times\frac{23}{216}=\frac{15125}{108}.\)

第三局結束時，乙袋中金額的期望值為 \(\displaystyle 100+100+50+50+50-\frac{15125}{108}=\frac{22675}{108}.\)

長期而言，設達穩定狀態的矩陣為 \(\displaystyle P=\left[\begin{array}{c}x\\y\\1-x-y\end{array}\right]\)，

由 \(AP=P\)，可解得 \(\displaystyle x=\frac{3}{10}, y=\frac{3}{5}\)，

所以，長期而言，甲袋中金額的期望值為 \(\displaystyle 100\times \frac{3}{10}+150\times\frac{3}{5}+200\times\left(1-\frac{3}{10}-\frac{3}{5}\right)=140<150.\)





計算題第 6 題. (c) 區間長度＝\(\displaystyle 4\sqrt{\frac{\hat{p}\left(1-\hat{p}\right)}{n}}=4\sqrt{\frac{-\left(\hat{p}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}{n}}\leq 2\sqrt{\frac{1}{n}}\)，
所以只要取 \(\displaystyle 2\sqrt{\frac{1}{n}}=e\Leftrightarrow n=\frac{4}{e^2}\)，即可保證區間長度絕對不會超過 \(e\).

(1)

如圖，

qq.png (18 KB)

2012-4-11 23:45

\(\displaystyle \frac{\tan\displaystyle \frac{\alpha}{2}}{\tan\displaystyle \frac{\beta}{2} }=\frac{\tan ∠IF_1D}{\tan ∠IF_2D}\)

　　\(\displaystyle =\frac{\displaystyle \frac{ID}{F_1D}}{\displaystyle \frac{ID}{F_2D}}\)

　　\(\displaystyle =\frac{F_2D}{F_1D}\)

　　\(\displaystyle =\frac{\displaystyle \frac{F_1F_2+PF_2-PF_1}{2}}{\displaystyle \frac{F_1F_2+PF_1-PF_2}{2}}\)

　　\(\displaystyle =\frac{\displaystyle \frac{2c-2a}{2}}{\displaystyle \frac{2c+2a}{2}}\)

　　\(\displaystyle =\frac{c-a}{c+a}.\)

(2)

若 \(P\) 在右葉，可解出來 \(I\) 點滿足 \(x=a\)，且後方繼續推論得到 \(-b<y<b\)，

同理若 \(P\) 在左葉，可解出來 \(I\) 點滿足 \(x=-a\) 且 \(-b<y<b\)。

故，內心的軌跡是兩平行線段。

題目有說 \(E\) 在 \(\triangle ABC\) 內部，可知 \(E\) 與 \(\triangle ABC\) 共平面。

引用:

原帖由 kittyyaya 於 2010-10-25 01:34 AM 發表
對不起,想請問weiye老師,最近再重看第18篇的內文,有一段想不通,就是"F2D=F1F2+PF2-PF1"和"F1D=F1F2+PF1-PF2",為何相等呢?我去畫圖還是看不出來,可否麻煩weiye老師再另外說明,先謝謝 ...

\(\displaystyle F_1F_2+PF_2-PF_1=\left(F_1D+DF_2\right)+\left(PE+EF_2\right)-\left(F_1F+PF\right)\)

\(\displaystyle =\left(F_1D-F_1F\right)+\left(PE-PF\right)+DF_2+EF_2=DF_2+EF_2=2DF_2.\)


\(\displaystyle \Rightarrow DF_2=\frac{F_1F_2+PF_2-PF_1}{2}.\)

另一式同理。

:-)

填充第 6 題：有 \(8\) 位女生與 \(25\) 位男生圍成一圓圈，在任 \(2\) 位女生中間至少有 \(2\) 位男生，其排列方法數為 \(\displaystyle\frac{a!b!}{c!}\) 種 (\(a\leq b\))，則有序數組 \(\left(a,b,c\right)=\)？

解答：

先將 8 位女生作環狀排列，方法數為 \(\displaystyle\frac{8!}{8}=7!\)，

然後再來考慮男生的分布情形，

先把男生都當作是相同球，在每位女生中間至少要放兩顆相同球，剩下 \(25-8\times2=9\) 個相同球，

把這剩下的相同球安排進去女生間的空隙，有 \(\displaystyle H_9^8\) 種方法，

最後在把男生安排到這些相同球所在的位置中，有 \(25!\) 種方法。

以上三個步驟搭配起來，總共有 \(\displaystyle7!\times H_9^8\times 25!=7!\times C_9^{16}\times 25!=7!\times\frac{16!}{9!7!}\times 25!=\frac{16!25!}{9!}\) 種方法。

所以，所求有序數組 \(\left(a,b,c\right)=\left(16, 25, 9\right)\)。