填充題，第 15 題，

以 \(O\) 為原點之坐標平面，若 \(\displaystyle \overrightarrow{OP}=\left(3\sin\alpha+\cos\beta, \sin\alpha+3\cos\beta\right)\)，

\(\displaystyle 0\le\alpha\le\frac{\pi}{6},0\le\beta\le\frac{\pi}{3}\)，則 \(\overrightarrow{OP}\) 之一切 \(P\) 點所成區域的面積為何？




解答：

\(\displaystyle \overrightarrow{OP}=\sin\alpha\cdot (3,1)+\cos\beta\cdot (1,3)\)，

因為 \(\displaystyle 0\le\alpha\le\frac{\pi}{6},\;0\le\beta\le\frac{\pi}{3}\)，

所以 \(\displaystyle 0\le\sin\alpha\le\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\le\cos\beta\le 1\).


因此，\(P\) 點所成區域的面積\(\displaystyle =\left(\frac{1}{2}-0\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)\cdot\{(3,1)\mbox{ 與 } (1,3) \mbox{所形成的平行四邊形面積}\}\)

\(\displaystyle \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=\frac{1}{4}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
   3 & 1  \\
   1 & 3  \\
\end{array}} \right||=2.\)

第 16 題：若 \(a,a,b,b,c,c\) 六個字母依直線任意排列，試問同字母均不相鄰的機率為？

解答：

分母＝\(\displaystyle\frac{6!}{2!2!2!}=90.\)

分子＝n(任排) - n(至少有一組符號相鄰) + n(至少有兩組符號相鄰) - n(三組符號都相鄰)

　　＝\(\displaystyle\frac{6!}{2!2!2!}-C^3_1\times\frac{5!}{2!2!}+C^3_2\times\frac{4!}{2!}-C^3_3\times3!=30.\)

所求\(\displaystyle=\frac{30}{90}=\frac{1}{3}.\)

第 2 題：若矩陣 \(\displaystyle \left[\begin{array}{cc}\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}&-\cos\frac{\pi}{3}\\ \cos\frac{\pi}{3}&\sin\frac{\pi}{3}\end{array}\right]^n=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle 1&0\\ 0&1\end{array}\right]\) 的最小自然數 \(n=\)？

解答：

\(\displaystyle \left[\begin{array}{cc}\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}&-\cos\frac{\pi}{3}\\ \cos\frac{\pi}{3}&\sin\frac{\pi}{3}\end{array}\right]^n=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)&-\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)\\ \sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)&\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)\end{array}\right]^n=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle \cos\frac{n\pi}{6}&-\sin\frac{n\pi}{6}\\ \sin\frac{n\pi}{6}&\cos\frac{n\pi}{6}\end{array}\right]\)



所以，當 \(\displaystyle\frac{n\pi}{6}=2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\) 時，題目要求的等式才會成立。

故，\(n\) 之最小正整數值為 \(12.\)

8.
\(\Delta ABC\)中，若\(4sinA+3cosB=6\)，\(3sinB+4cosA=1\)，則\(∠C=\)？
[解答]
\(4\sin A+3\cos B=6\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sin A=\frac{6-3\cos B}{4}\geq\frac{3}{4}>\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow \angle A>30^\circ\)

因此 \(\angle C<150^\circ\)