計算題
3.請將\( \displaystyle \frac{1}{\root 3 \of 4+5 \root 3 \of 2+1} \)有理化。
(答案以\( a+b \root 3 \of 2+c \root 3 \of 4 \))表示，其中\( a,b,c \in Q \)。
[解答]
令\( x=\root 3 \of 2 \)，\( x^3=2 \)
原式=\( \displaystyle \frac{1}{x^2+5x+1}=\frac{8x^2-x+3}{(x^2+5x+1)(8x^2-x+3)}=
\frac{8x^2-x+3}{8x^4+39x^3-16x-3}=\frac{8x^2-x+3}{8 \times 2 x+39 \times 2-16x-3}=\frac{8 \root 3 \of 4-\root 3 \of 2-3}{75} \)
我要承認我是從答案看出來要同乘\( 8x^2-x+3 \)
10.4.17補充，看這個ID之前發問的文章應該是台灣人
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=345495
5.若\( a_{n}=\left| \matrix{
n & n+1 & 0 \cr
n+2 & n+1 & n+2 \cr
n+2 & 0 & n+2}\right| \)，\( \forall n \in N \)，求\( \displaystyle \lim_{m\to\infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{a_{k}} \)。
[提示]
\( a_{n}=\left| \matrix{n & n+1 & 0 \cr 2 & 0 & n+2 \cr n+2 & 0 & n+2}\right|=
\left| \matrix{n & n+1 & 0 \cr 2 & 0 & n+2 \cr n & 0 & 0}\right|=n(n+1)(n+2)
\)
證明題
3.證明：\( \forall n \in N \)，\( 3^n \geq 1+2n \sqrt{3^{n-1}} \)。
[提示]
\( \displaystyle \frac{1+3+3^{2}+...+3^{n-1}}{n}>\root{n}\of{1 \times 3 \times 3^2 \times ... \times 3^{n-1}} \)
補充一題
設\( n\in N \)，\( n>1 \)，試證\( \displaystyle C^{n}_{1}+C^{n}_{2}+...+C^{n}_{n}>n \sqrt{2^{n-1}} \)
高中數學競賽教程P159
http://jflaith.myweb.hinet.net/ra/RA560.pdf
101.2.1補充
試證\( \displaystyle 5^n \geq 1+4n \sqrt{5^{n-1}} \)對於所有的n為自然數皆成立
(100台中二中，
https://math.pro/db/thread-1116-1-1.html)
[
本帖最後由 bugmens 於 2012-2-1 05:17 PM 編輯 ]
