投影後的曲線方程式

\(A(0,2,3)\)，\(B\)點參數式\(B(sin\theta,0,1+cos\theta)\)，\(P\)點坐標\(B(x,y,0)\)
因三點共線，\(\displaystyle \frac{x}{sin\theta}=\frac{y-2}{-2}=\frac{-3}{cos\theta-2}\)，
整理得\(\displaystyle sin\theta=\frac{-2x}{y-2}\)、\(\displaystyle cos\theta=\frac{2y+2}{y-2}\)
代入\(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)，\(\displaystyle \left(\frac{-2x}{y-2}\right)^2+\left(\frac{2y+2}{y-2}\right)^2=1\)
\(\displaystyle \Rightarrow (4x^2)+(4y^2+8y+4)=y^2-4y+4\Rightarrow \frac{x^2}{3}+\frac{(y+2)^2}{4}=1\)
不過這個方法有點繁瑣，不知有沒有更簡潔的做法?
不好意思，答案應該要加個z=0。