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期望值與標準差

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已知袋中有\( r \)個紅球,\( N-r \)個白球,一次取一個(取後不放回)。
若\( X \)表示紅球被取完時的取球總次數。
則由weiye的解法可得
\(\displaystyle P(X=k)=\frac{C_{r-1}^{k-1}}{C_{r-1}^{r-1}+C_{r-1}^{r}+...+C_{r-1}^{N-1}}=\frac{C^{k-1}_{r-1}}{C^N_r}\)

故\( X \)的期望值
\(\displaystyle E(X)=\sum_{k=r}^Nk\frac{C^{k-1}_{r-1}}{C^N_r}=\frac{1}{C^N_r}\sum_{k=r}^Nk\frac{(k-1)!}{(r-1)!(k-r)!}=\frac{1}{C^N_r}\sum_{k=r}^NrC^k_r=\frac{r}{C^N_r}C^{k+1}_{r+1}=r(\frac{N+1}{r+1}) \)

所以上述問題\( (r=3,N=7) \)可以用\(\displaystyle \frac{3(7+1)}{3+1}\)來算
另外,
\(\displaystyle E(X^2)=\sum_{k=r}^Nk^2\frac{C^{k-1}_{r-1}}{C^N_r}=\frac{1}{C^N_r}\sum_{k=r}^N[(k^2+k)C^{k-1}_{r-1}-kC^{k-1}_{r-1}]=\frac{r(r+1)}{C^N_r}C^{N+2}_{r+2}-\frac{r}{C^N_r}C^{N+1}_{r+1}=\frac{r(N+1)(rN+r+N)}{(r+1)(r+2)}\)
故\( X \)的變異數
\(\displaystyle Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac{r(N-r)(N+1)}{(r+1)^2(r+2)}\)

若\( r=3,N=7 \),則標準差為\(\displaystyle \sqrt{\frac{3(7-3)(7+1)}{(3+1)^2(3+2)}}\)

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