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期望值與標準差

本主題由 bugmens 於 2017-9-4 13:43 提升
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期望值與標準差

一袋中有3紅球、4白球,每次從中取出一球,取後不放回,取到紅球取完為止,求所取次數的期望值為_____,標準差為______。

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引用:
原帖由 weiye 於 2008-7-1 12:45 AM 發表
全教會的討論串:http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48031
不好意思!我看不懂解法耶!

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因為 3紅球、4白球,

所以取完紅球次數最少就是前三球都是紅球,需要 3 次,

最多就是到最後一球才取到紅球,需要 7次取球,

若取 k 次才取完紅球的話,扣掉最後一球一定為紅球,會有 C(k-1, 2) 種方法都是第 k 次才取完紅球,

而取 3,4,5,6,7 次才取完紅球,對應到的方法數分別為 C(2:2), C(3:2), C(4,2), C(5,2), C(6,2) 次,

也就是分別為1,3,6,10,15次,

所以其實就是已分組資料求平均數與標準差,

取球數
次數
3
1
4
3
5
6
6
10
7
15


取球次數的平均數=期望值=(3*1 + 4*3 + 5*6 + 6*10+7*15)/(1+3+6+10+15) = 6

標準差=sqrt(((3-6)^2 *1 + (4-6)^2 *3 + (5-6)^2 *6 + (6-6)^2 *10+(7-6)^2 *15)/(1+3+6+10+15))

   =sqrt((9+12+6+15)/(1+3+6+10+15))=sqrt(6/5)

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請教weiye 老師

引用:
原帖由 weiye 於 2008-7-1 06:25 PM 發表
因為 3紅球、4白球,

所以取完紅球次數最少就是前三球都是紅球,需要 3 次,

最多就是到最後一球才取到紅球,需要 7次取球,

若取 k 次才取完紅球的話,扣掉最後一球一定為紅球,會有 C(k-1, 2) 種方法都是第 k 次才取完紅球,

...
仿照高雄市聯招99取求期望值的做法

可以解出期望值6,( \( \displaystyle 3+4 \cdot \frac{3}{4}=6\) )
或是(1+7)*3/1+3=6............(1)這是甚麼意思


因為所取次數期望值為6次,所以2紅3白在前面排列,則取出個數標準差為

√(5*2/5*3/5)=√(6/5) ............(2)  為何可以很快的用這個公式這樣算出來
二項分配的機率為p時,其標準差S=√{n*p*(1-p)}此題n=5,p=2/5




EX:一箱中有10個真空管,但已知其中兩個是不良的,今從箱中隨機取一個來試驗,直到取到一個好的為止(取後不放回),求取出真空管個數的期望值及標準差。
解:
(1) 期望值
先排八個良品,共有九個空隙,平均每個空隙插入 2/9個不良品,故期望值為  2/9+1=11/9  個(非整數)
(2) 標準差
標準差怎麼用公式很快的用二項分配的機率為p時,其標準差S=√{n*p*(1-p)}算出來,如同上面的例子。

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已知袋中有\( r \)個紅球,\( N-r \)個白球,一次取一個(取後不放回)。
若\( X \)表示紅球被取完時的取球總次數。
則由weiye的解法可得
\(\displaystyle P(X=k)=\frac{C_{r-1}^{k-1}}{C_{r-1}^{r-1}+C_{r-1}^{r}+...+C_{r-1}^{N-1}}=\frac{C^{k-1}_{r-1}}{C^N_r}\)

故\( X \)的期望值
\(\displaystyle E(X)=\sum_{k=r}^Nk\frac{C^{k-1}_{r-1}}{C^N_r}=\frac{1}{C^N_r}\sum_{k=r}^Nk\frac{(k-1)!}{(r-1)!(k-r)!}=\frac{1}{C^N_r}\sum_{k=r}^NrC^k_r=\frac{r}{C^N_r}C^{k+1}_{r+1}=r(\frac{N+1}{r+1}) \)

所以上述問題\( (r=3,N=7) \)可以用\(\displaystyle \frac{3(7+1)}{3+1}\)來算
另外,
\(\displaystyle E(X^2)=\sum_{k=r}^Nk^2\frac{C^{k-1}_{r-1}}{C^N_r}=\frac{1}{C^N_r}\sum_{k=r}^N[(k^2+k)C^{k-1}_{r-1}-kC^{k-1}_{r-1}]=\frac{r(r+1)}{C^N_r}C^{N+2}_{r+2}-\frac{r}{C^N_r}C^{N+1}_{r+1}=\frac{r(N+1)(rN+r+N)}{(r+1)(r+2)}\)
故\( X \)的變異數
\(\displaystyle Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac{r(N-r)(N+1)}{(r+1)^2(r+2)}\)

若\( r=3,N=7 \),則標準差為\(\displaystyle \sqrt{\frac{3(7-3)(7+1)}{(3+1)^2(3+2)}}\)

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機率(有關期望值)(教師甄選考古題)

一箱中,有3紅球,4白球,每次取出一球不放回(每次取球,每球被取到的機會均等),取到紅球被取完為止。令\(X\)為取球的次數,求出\(X\)的期望值。(請給出兩種解法)

此題要求給出兩種解法,

一種方法是我用期望值的定義直接算。

另一種方法是我用條件期望值的方法來算(這個沒有比上一個方法來的容易計算),

想請問是否有其它種方法??

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期望值即平均值的概念
想成4顆白球有5個空隙,平均一個空隙就有3/5個紅球
\(
(3/5+1)×3=24/5
\)

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-7-22 12:02 編輯 ]
用對的方法去努力,才是成功的唯一途徑!

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回復 2# eyeready 的帖子

願聞其詳。
我用兩種方法都算 6 。
直接算:
P(X=3)=1/35
P(X=4)=3/35
P(X=5)=6/35
P(X=6)=10/35
P(X=7)=15/35
E = 3 P(X=3) + 4 P(X=4) + 5 P(X=5) + 6 P(X=6) + 7 P(X=7) = 6

[ 本帖最後由 Chen 於 2017-7-22 12:34 編輯 ]

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回復 2# eyeready 的帖子

應想成 3 顆紅球有 4 個空隙,平均一個空隙就有 1 顆白球
故 (1 + 1)* 3 = 6

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