9999....9 ⇒ 如果有偶數個 9 ，此數被 11 會整除，

9999....9 ⇒ 如果有奇數個 9，此數被 11 除會餘 9，

滿足 9*k 會是 11 倍數的最小正整數 k 就是 11，

由以上三條件，可知 n 的最小值就是 21。

9÷11餘 9
99÷11餘 0
999÷11餘 9
9999÷11餘 0
99999÷11餘 9
999999÷11餘 0
................

所以 9+99+999+...+9999...9 除以 11 的餘數會同餘 9+0+9+0+9+.........（共n項）

餘數的地方只要累計到 11 個 9 ，就又會是 11 的倍數，所以 n 最小正整數值為 21。