第 6 題
外心 O、重心 G、垂心 H
HG = 2OG

以下向量符號省略
|OA + OB + OC| = |OG + GA + OG + GB + OG + GC| = 3|OG| = √3
|HA + HB + HC| = |HG + GA + HG + GB + HG + GC| = 3|HG| = 6|OG| = 2√3


第 9 題
先猜 a = b = c，第二式不合
再猜 a + b = c = 16，合
√a、√b、√c 是直角三角形之三邊長
面積 = (1/2)√(ab) ≦ (1/2)(1/2)(a + b) = 4

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第 12 題
sinθ = a ＞ 0
cosθ = b ＞ 0
sinψ = c ＞ 0
cosψ = d ＞ 0
a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1

原題改為 a^2024/d^2022 + b^2024/c^2022 = 1，求 a^2023 - d^2023

(a^2024/d^2022 + b^2024/c^2022)(d^2022/a^2020 + c^2022/b^2020) ≧ (a^2 + b^2)^2 = 1
等號成立於 (a/d)^2024) = (b/c)^2024，ac = bd，θ + ψ = π/2
此時 d^2022/a^2020 + c^2022/b^2020 = 1

所求 = (sinθ)^2023 - (cosψ)^2023 = 0

第 13 題
a + b + c = 5
b + c = 5 - a

ab + bc + ca = a(5 - a) + bc = 7
a^2 - 5a + 7 = bc ≦ [(b + c)/2]^2 = [(5 - a)/2]^2
1/3 ≦ a ≦ 3

abc = a(a^2 - 5a + 7) = a^3 - 5a^2 + 7a
f(a) = a^3 - 5a^2 + 7a
f'(a) = 3a^2 - 10a + 7 = (a - 1)(3a - 7) = 0
a = 1 or 7/3

f(1) = 3，f(7/3) = 49/27
f(3) = 3，f(1/3) = 49/27

M + m = 3 + 49/27 = 130/27

別這樣說，有疑問是好事，錯了就修正

[(b + c)/2]^2 - bc
= (b^2 + 2bc + c^2)/4 - bc
= (b - c)^2/4
≧ 0

有三個未知數，但只有兩個等式，面積是不定值，連餘弦定理都難以處理
所以從特例正三角形和直角三角形去猜，畢氏定理可得到 a + b = c 這個符合題意的結果

除了 a + b = c 或 b + c = a 或 c + a = b，應該沒其它解了，有空再來做

這張題目多，技巧性高的題目也多，做法不調整，分數會很難看

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-27 06:24 編輯 ]