第 12 題
把 "比" 看成 "除號"，再寫成分數的形式

1 必在分子，2 必在分母
3 ~ 8 可用括號控制它們放在分母或分子，有 2^6 = 64 種情形

由於 3 * 8 = 4 * 6
當 3 和 8 在分子，而 4 和 6 在分母時，5 和 7 有 2^2 = 4 種放法
當 4 和 6 在分子，而 3 和 8 在分母時，上面 4 種比值會重複

故所求 = 64 - 4 = 60 種

第 14 題
跟 112 嘉義高中第 10 題差不多
可參考 rice 老師的漂亮做法
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3738&page=3#pid24982

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-21 23:38 編輯 ]

第 10 題
湊數字而已

2x^2 - 6x + 9 = x^2 + (x - 3)^2

以下底數 3 省略
2x^2 - 16x + (logx)^2 - 2xlogx + 4logx + 40
= (x^2 - 12x + 36) + x^2 - 4x + (logx)^2 - 2xlogx + 4logx + 4
= (x - 6)^2 + [(x - 2) - logx]^2
= (x - 6)^2 + [(x - 3) - (logx - 1)]^2

O(0，0)、A(x，x - 3)、B(6，logx - 1)
所求即 OA + AB 的最小值，出現在 OA + AB = OB 時，此時 x = 3

第 7 題
3 點共線：5 種 (3直2斜)
4 點共線：1 種 (橫)
5 點共線：2 種 (斜)
7 點共線：1 種 (橫)

直線 m = C(17，2) - C(3，2) * 5 - C(4，2) - C(5，2) * 2 - C(7，2) + (5 + 1 + 2 + 1)
= 136 - 15 - 6 - 20 - 21 + 9
= 83

三角形 n = C(17，3) - C(3，3) * 5 - C(4，3) - C(5，3) * 2 - C(7，3)
= 680 - 5 - 4 - 20 - 35
= 616

m + n = 699

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-27 05:45 編輯 ]

第 15 題
x^2/4 + y^2/3 = 1
a = 2、b = √3、c = 1
A(-1，0) 是左焦點，x = -a^2/c = -4 是左準線

橢圓上一點 P 到 x = -4 的距離 = 2PA

過 P 作 x = -4 之垂線，垂足為 Q
2PA + PB = PQ + PB ≧ BQ ≧ 5
當 BQ = 5 時，Q(-4，1)

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第 8 題
分成
(1) 三者皆 ≦ 0
(2) 僅 3|x| + 4|y| - 10 ≦ 0
(3) 僅 4|x| + 3|y| - 10 ≦ 0
(4) 僅 x^2 + y^2 - 4 ≦ 0

除了 (4) 無圖形，前三者所形成的圖形為紅色部分(圖是小畫家畫的，很醜)

飛鏢可拆成 8 個鈍角三角形，底 10/3 - 5/2 = 5/6，高 10/7，面積 25/42

所求 = 4π + (25/42) * 8 = 4π + (100/21)

感謝 acolytej 老師指正，小弟老花眼漏看了，已修正前面的算式