一、填充題
4.
平面上，設\(\Delta ABC\)為等腰直角三角形，其中\(\angle C\)為直角且\(\overline{AC}=1\)，在\(\overline{AB}\)上取\(n\)等分點\(P_0=A,P_1,P_2,P_3,\ldots,P_n=B\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \vec{CP_{k-1}\cdot \vec{CP_k}}=\)
。
已知\(\Delta ABC\)為邊長為1的正三角形，設\(\overline{BC}\)邊上有\(n-1\)個等分點，由\(B\)點到\(C\)點的順序為\(P_1,P_2,P_3,\ldots,P_{n-1}\)，且令\(B=P_0\)，\(C=P_n\)。若\(S_n=\vec{AB}\cdot \vec{AP_1}+\vec{AP_1}\cdot \vec{AP_2}+\vec{AP_2}\cdot \vec{AP_3}+\ldots+\vec{AP_{n-1}}\cdot \vec{AC}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{n}=\)。
(105全國聯招，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2498&page=1#pid15288)
9.
設\(z\)為複數，且\(z\)為方程式\(x^5+x^4+1=0\)的根，則滿足\(|\;z|\;=1\)的所有根之和為
。
112武陵高中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3731&page=1#pid24860
12.
設\([\;x ]\;\)表示不超過\(x\)的最大整數，則\(\displaystyle \left[\frac{1}{3}\right]+\left[\frac{2^1}{3}\right]+\left[\frac{2^2}{3}\right]+\left[\frac{2^3}{3}\right]+\ldots+\left[\frac{2^{2024}}{3}\right]\)的末兩位數為
。
連結有解答，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1042&page=1#pid11268
證明題
1.
設平面四邊形ABCD的四邊長\(a=AB,b=BC,c=CD,d=DA\)，
(1)試求此四邊形面積的最大值；
(2)若\(a,b,c,d\)為四個連續的正整數。證明：四邊形\(ABCD\)面積的最大值不為整數。
相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434
