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74.
若\(A\)為\(R\)的部份集合，且\(f(x)\)：\(A \to R\)為一連續函數。
甲：若\(f(a)<m<f(b)\)，則\(\exists c\in A\)且\(f(c)=m\)。
乙：若\(f(a)=f(b)\)，則\(\exists c\in A\)且\(f(c)=f(a)=f(b)\)。
有關甲、乙的推論，下列選項何者正確？
（A）甲和乙皆正確
（B）僅甲正確
（C）僅乙正確
（D）甲和乙皆不正確
[解答]
檢查一下題目或答案有沒有錯
甲的反例發生在 \( A \) 不連通時
例如 \( A = \mathbb{R \backslash \{0\}} \), \( f(x) = \frac{1}{x} \)
\( f(-1) = -1 < 0 < 1 = f(1) \)，但不存在 \( c \in A\) 使得 \( f(c) = 0 \)
通常是卡在連續函數的定義(可以回去翻高微)
乙的部分，直接取 \( c=a \)，就會有 \( f(c) = f(a) = f(b) \) 了
因此必然是正確的。
(題目抄錯？出錯？答案給錯？)
但此推論，顯然沒什麼用，此命題應該增加條件在「則的部分」：則 \( \exists c \in A \) 且 \( c \neq a \) 且 \( c \neq b \) 且 ...
增加了 \( c \neq a \) 且 \( c \neq b \) 的限制後，才會是錯的推論，反例像是 \( f(x) =x^2 \) 很容易找，
這麼一來，好像又太簡單了...
[ 本帖最後由 tsusy 於 2024-3-12 14:30 編輯 ]
