第 10 題
已知方程式\(3|\;|\;x-\sqrt{3}y|\;-8|\;+|\;|\;\sqrt{3}x+y|\;-18|\;=72\)在平面上定義了一個由若干線段所構成的封閉曲線\(\Gamma\)，以原點為中心，將\(\Gamma\)逆時針旋轉\(60^{\circ}\)可得封閉曲線\(\Gamma'\)，則封閉曲線\(\Gamma'\)所包圍的面積為　　　。
[解答]
將坐標軸順時針旋轉 \( 60^{\circ} \)，令 \( x'=\frac{x-\sqrt{3}y}{2}, y'=\frac{\sqrt{3}x+y}{2} \)。

則 \( 3||2x'|-8|+2|2|y'|-18|=72\Leftrightarrow3||x'|-4|+2||y'|-9|=36 \)。

考慮其在第一象限之情形，即假設 \( x'\ge0, y'\ge0 \)，化簡得

\( 3|x'-4|+2|y'-9|=36 \)，其在第一象限所圍圖形為一五邊形，頂點分別為 \( (0,0),(0,21),(4,27),(16,9),(10,0) \)

在第一象限所圍面積為 \( 16\cdot27-\frac{1}{2}\cdot(4\cdot6+12\cdot18+6\cdot9)=285 \)。

由對稱性可得 \( \Gamma \) 為圍面積為 \( 285\cdot4=1140 \)。

而旋轉面積不變，故 \( \Gamma' \) 所圍面積亦為 \( 1140 \)。

填充 9.
空間中有一平面\(E\)及兩不在平面\(E\)上的固定點\(A\)、\(B\)，其中\(\overline{AB}\)長為10，\(\overline{AB}\)與平面\(E\)平行且距離為6。設平面\(E\)上有一單位圓，其上有兩動點\(P\)、\(Q\)，則四面體\(ABPQ\)的最大體積為　　　。
[解答]
令 \( L \) 為直線 \( AB \) 在平面 \( E \) 上的投影，\( C \) 為 \( L \) 和直線 \( PQ \) 的交點。

四面體體積 \( =\frac{1}{6}|\begin{vmatrix}\vec{PB}\\
\vec{PA}\\
\vec{PQ}
\end{vmatrix}|=\frac{1}{6}|\begin{vmatrix}\vec{PB}-\vec{PC}\\
\vec{PA}-\vec{PC}\\
\vec{PQ}
\end{vmatrix}|=\frac{1}{6}|\begin{vmatrix}\vec{CB}\\
\vec{CA}\\
\vec{PQ}
\end{vmatrix}|\le\frac{1}{6}|\vec{CB}\times\vec{CA}|\cdot\overline{PQ}=\frac{1}{6}\cdot10\cdot6\cdot\overline{PQ}\le20 \)。

當 \( \vec{AB}\perp\vec{PQ} \) 且 \( \overline{PQ}=2 \) 時，有最大值 20。