填充12題
令 \( Q \) 為 \( \overline{BC} \) 中點，\( N \) 為直線 \( AM \) 和平面 \( PBC \) 的交點

\( \Delta POQ \) 的三邊(及延長線上) \( A, M, N \) 共線，由孟氏定理可得 \( \overline{QN}:\overline{NP} =3:2 \)

\( PBC \)面上的截痕過 \( N \) 且平行於 \( BC \)
故 \( \displaystyle \frac{m}{正四面體體積} = (\frac 2{2+3})^2 = \frac 4{25}\)
(以 \( A \) 為頂點做高，底面積之比)

故所求 \( \frac mn =\frac 4{21} \)
(以 \( A \) 為頂點做高，底面積之比)

填充6. 沒有想到什麼特別的方法，就直接硬做
設 \( z = x + yi \)，其中 \( x,y \in {\mathbb{R}} \) 且 \( y \neq 0 \)
令 實數 \( r = \frac{z - 1}{z^2} \)
則 \( (x - 1) + yi = r(x^2 - y^2 + 2xyi)\Rightarrow \left\{\begin{array}{cc} x - 1 = r(x^2 - y^2) \\ y = 2rxy  \end{array}\right. \)

又 \( y \neq 0 \)，故 \( r = \frac{1}{2x} \)

\( \Rightarrow 2x^2 - 2x = x^2 - y^2 \)

\( \Rightarrow (x - 1)^2 + y^2 = 1 \Rightarrow | z|  \leq 2 \)
又 \( |z| \in \mathbb N \) 故 \( |z| =1 \) 或 2

若 \( |z| =2 \)，則 \( z = 2 +0i \)，與 \( y \neq 0 \) 矛盾
故 \( |z|=1 \)，即 \( x^2+y^2 =1 \)

代回 \( 2x^2 - 2x = x^2 - y^2 \) 可得 \( x = \frac12, y =  \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \)

故 \( z = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2} \)

O 在 AQ上、 M 在 PO 上 N 在 AM 上

故 O, M, N 都在 \( \Delta PAQ \) 所在的平面上

所以 N 在平面 PAQ 和 PBC 共同的交線上