112台南女中

第 7 題：

設 \(\overline{AC}\) 與 \(\overline{BD}\) 交於 \(E\)，則

\(\displaystyle \vec{AC} = 4\left(\frac{3}{8}\vec{AB}+\frac{5}{8}\vec{AB}\right) = 4\vec{AE}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \overline{AE}:\overline{EC}=1:3, \overline{BE}:\overline{ED}=3:5\)

由圓的內冪性質， \(\displaystyle \overline{AE}\times\overline{EC}=\overline{BE}\times\overline{ED}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{4}\overline{AC}\times\frac{3}{4}\overline{AC} = \frac{3}{8}\overline{BD}\times\frac{5}{8}\overline{DB}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \overline{AC}=\frac{\sqrt{5}}{2}\overline{BD}=5\) 。

第 8 題：

設小南接下來的 \(n\) 天每天都會從土司、小籠包、鍋貼三種選擇一種當作當天的早餐，

但不連續兩天吃土司的 \(n\) 天早餐安排法有 \(a_n\) 種，則

\(\displaystyle a_1 = 3, a_2 = 8, a_n = 2\times a_{n-1} + 1\times 2\times a_{n-1}, \forall n\geq 3\)，

（說明：若第一天不吃吐司，則第一天有兩種選擇，且剩下\(n-1\)天有\(a_{n-1}\) 種安排法，

　　　　若第一天吃吐司，則第一、二天共有 \(1\times2\)種選擇，且剩下 \(n-2\) 天有 \(a_{n-2}\) 種安排法。）

得 \(\displaystyle a_3 = 2\left(a_2+a_1\right) = 22, a_4 = 2\left(a_3+a_2\right) = 60, ..., a_9 = 9136\) 。

註：通解 \(\displaystyle a_n = \frac{3-2\sqrt{3}}{6}\left(1-\sqrt{3}\right)^n+\frac{3+2\sqrt{3}}{6}\left(1+\sqrt{3}\right)^n\)