112台中一中

填充 9.
\([x]\)定義為小於或等於\(x\)的最大整數，則\(\displaystyle \left[\frac{1}{3}\right]+\left[\frac{2}{3}\right]+\left[\frac{2^2}{3}\right]+\left[\frac{2^3}{3}\right]+\ldots+\left[\frac{2^{2023}}{3}\right]\)的個位數字為　　　。
[解答]
注意到 \( n \in \mathbb N \cup \{ 0 \} \) 時，

\( 2^{2n} \equiv 1 \)  (mod 3), \( 2^{2n+1} \equiv 2 \) (mod 3)

故有 \( \displaystyle \left[\frac{1}{3}\right] + \left[\frac{2}{3}\right] + \left[\frac{2^2}{3}\right] + \cdots \left[\frac{2^{2023}}{3}\right] = \frac{1 + 2 + 2^2 + \cdots  + 2^{2023} - 1012 - 1012 \cdot 2}{3} = \frac{2^{2024} - 3037}{3} \)

令 \(  \displaystyle A = \frac{2^{2024} - 3037}{3} \)

則 \( 3A = 2^{2024} - 3037 \equiv 2^4 -3037 \equiv 6 - 3037 \equiv 9 \) (mod 10)
( \( 2^n \) 模 10，每四項一個循環)

\( \Rightarrow A \equiv 21A = 7 \cdot 3A \equiv 7 \cdot 9 = 63 \equiv 3 \) (mod 10)

故所求個位數字即為 3 (A 除以 10 所得之餘數，即其個位數)。