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設四面體\(O-ABC\)，底面為邊長12的正三角形\(\Delta ABC\)，且\(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}\)，令\(O\)在\(\Delta ABC\)的投影點為\(H\)，\(\overline{OH}=6\)，又\(A\)在側面\(\Delta OBC\)的投影點為\(K\)，於\(\overline{AK}\)上取一點\(P\)，使得\(\overline{AP}:\overline{PK}=5:1\)。若過\(P\)點有一平面\(E\)與底面\(\Delta ABC\)平行，則平面\(E\)與四面體\(O-ABC\)所截圖形之面積為 。
[解答]
架設坐標
\(B=(0,0,0)\)、\(C=(12,0,0)\)、\(A=(6,6\sqrt{3} ,0)\)
因為\(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC} \)
能有\(H=(6,2\sqrt{3},0) \)
又 \(\overline{OH}=6\)，得\(O=(6,2\sqrt{3},6)\)
平面\( \bigtriangleup ABC \)：\( 3y-\sqrt{3}z=0 \)
利用投影點公式，得\( K=(6,{\large\frac{3\sqrt{3} }{2}} ,{\large\frac{9}{2}}) \)
\(\overline{AP}：\overline{PK}=5：1 \)利用內分點公式，找到\(P=(6,{\large\frac{9\sqrt{3} }{4}} ,{\large\frac{15}{4}}) \)
由於點P到\( xy \)平面的高度為\({\large\frac{15}{4}} \)
所以點O到所求所截出來的面的高度為\({\large\frac{9}{4}} \)
\(\Rightarrow {\large\frac{9}{4}} \)：\(\overline{OH} \)＝\( 3 \)：\( 8 \)
因此所求的截面積與底面\( \bigtriangleup ABC \)的比為
\(邊長^{2}比＝面積比 \)
\(3^{2}：8^{2}＝所求截面積：36\sqrt{3} \)
所求截面積＝\( \Large\frac{81\sqrt{3}}{16} \)
