引用:
原帖由 koeagle 於 2022-4-23 17:55 發表 
如題，考試時間90分鐘。
填18
若數列\(\langle\;a_k\rangle\;_{k=1}^{\infty}\)滿足\(a_1=1\)、\(a_2=2\)且\(a_{n+2}\cdot a_n+6a_{n+2}\cdot a_{n+1}=a_{n+1}\cdot a_n\)，其中\(n \in N\)，則\(a_n\)=
(以\(n\)表示)
[解答]
a(n+2)*a(n)+6a(n+2)*a(n+1)=a(n+1)*a(n)
a(n+2)[a(n)+6a(n+1)]=a(n+1)*a(n)
1/a(n+1) +6/a(n)=1/a(n+2) [ 令b(n)=1/a(n) ]
整理得b(n+2)-b(n+1)-6*b(n)=0---------(*)
且b(1)=1----------① ,b(2)=1/2 ----------②
(*)的特徵值x符合 x² -x-6=(x-3)(x+2)=0
解得x=3,-2 ,假設b(n)=c1*3^n+c2*(-2)^n---------③
由①②③ 解出c1=1/6 ,c2= -1/4
整理得 a(n)=1/b(n) = 2 / [ 3^(n-1) +(-2)^(n-1) ] , n∈ℕ
填19
\(x,y \in R\)，則\(\cases{\displaystyle \sqrt{x}\left(1+\frac{1}{x+y}\right)=2 \cr \sqrt{y}\left(1-\frac{1}{x+y}\right)=\sqrt{2}}\)之解\((x,y)\)為
[解答]
1+1/(x+y)=2/√x ----------①
1-1/(x+y)=√2/√y----------②
①²- ②² 得4/(x+y)=4/x- 2/y
整理得x²+xy-2y²=0
(x+2y)(x-y)=0 ,x=y (x= -2y不合∵x,y∈ℝ)
x=y代入①整理得4x²-12x+1=0
解出數對(x,y)=( (3+2√2)/2 , (3+2√2)/2 )
[註:x=y=(3-2√2)/2代入②不合]
