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從\(z^{2020}=1\)的所有複數根中，任選相異兩根\(z_1,z_2\)，則\(\displaystyle |\;z_1-z_2|\;<\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)的機率為 。
[解答]
設 \(\theta\) 為相鄰兩點最大容忍的圓心角
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{1^2+1^2-\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)^2}{2\times1^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
因此 \(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}\)
\(\displaystyle \frac{2\pi}{2020}x<\frac{\pi}{6}\) 得 \(x\leq168\)(相鄰兩點最多只能隔168個間隔)
因此任取兩點滿足條件的機率為 \(\displaystyle 1\times \frac{168\times2}{2020-1}=\frac{112}{673}\)
