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109中科實中國中部

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回復 1# Superconan 的帖子

填充第 5 題,等高手來解
其餘答案請參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=3210
有錯請指正

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回復 1# Superconan 的帖子

填充第 5 題
☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐
  ☐☐☐☐
一個房間的地面是由24個正方形所組成,今想用長方形磁磚舖滿地面,已知每一塊長方形磁磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形,即☐☐或\(\matrix{☐\cr ☐}\)。則用12塊磁磚舖滿房間地面的方法有   的舖法。
[解答]
圖 A,有 89 種排法
圖 B,有 5 * 5 = 25 種排法
圖 C,有 2 * 5 = 10 種排法
圖 D,有 2 * 13 = 26 種排法
圖 E,有 2 * 5 = 10 種排法
合計 89 + 25 + 10 + 26 + 10 = 160 種排法
不知有無遺漏 ......

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20200615_2.jpg (37.85 KB)

2020-6-15 22:42

20200615_2.jpg

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回復 5# jasonmv6124 的帖子

第 6 題
\(\cases{109(x-1)^3+2020x=4149 \cr 109(x^2-2x-1)^3+2020(x^2-2x)=-109}\)之實數解為   
[解答]
從第一條式子,可看出一實根 2,代入第二式也符合
函數\(f\left( x \right)=109{{\left( x-1 \right)}^{3}}+2020x-4149\)嚴格遞增
故僅有一實根2


第 7 題
\(\Delta ABC\)中,若\(\overline{AB}=\overline{AC}\),\(∠A=40^{\circ}\),且\(P\)為\(\overline{AB}\)
邊上的一點使得\(∠APC=120^{\circ}\),求\(\displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{BC}}=\)   
[解答]
令\(\overline{BC}=1\),所求為\(\overline{AP}\)
\(\begin{align}
  & \frac{\overline{AP}}{\sin \angle ACP}=\frac{\overline{AC}}{\sin \angle APC} \\
& \frac{\overline{AP}}{\sin 20{}^\circ }=\frac{\overline{AC}}{\sin 120{}^\circ } \\
&  \\
& \frac{\overline{AC}}{\sin \angle ABC}=\frac{\overline{BC}}{\sin \angle BAC} \\
& \frac{\overline{AC}}{\sin 70{}^\circ }=\frac{1}{\sin 40{}^\circ } \\
&  \\
& \overline{AP}=\frac{\sin 70{}^\circ \sin 20{}^\circ }{\sin 120{}^\circ \sin 40{}^\circ }=\frac{\cos 20{}^\circ \sin 20{}^\circ }{\sin 120{}^\circ \times 2\cos 20{}^\circ \sin 20{}^\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3} \\
\end{align}\)

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回復 5# jasonmv6124 的帖子

第 10 題
給定坐標平面上四點\(A(0,0)\)、\(B(3,-2)\)、\(C(6,0)\)、\(D(5,2)\)及直線\(L\)。若直線\(L\)剛好同時將兩個三角形\(\Delta ABC\)、\(\Delta ADC\)面積平分,且與\(\overline{AC}\)相交於\(E\)點,求\(E\)點坐標為   
[解答]
直線L和\(\overline{AD}\)交於\(F\left( a,\frac{2}{5}a \right)\),和\(\overline{AB}\)交於\(G\left( b,-\frac{2}{3}b \right)\)
\(\begin{align}
  & \Delta ACD=\Delta ACB=6,\Delta AEF=\Delta AEG=3 \\
& \frac{2}{5}a=\left| -\frac{2}{3}b \right| \\
& b=\frac{3}{5}a \\
& \overline{AE}=\frac{a+b}{2}=\frac{4}{5}a \\
&  \\
& \Delta AEF=\frac{4}{5}a\times \frac{2}{5}a\times \frac{1}{2}=3 \\
& a=\frac{5}{2}\sqrt{3} \\
& E\left( 2\sqrt{3},0 \right) \\
\end{align}\)

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回復 8# 有魚魚 的帖子

您是對的,這題是 2018 AMC 12 的題目,原題有 1,這題沒有

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回復 12# abc409212000 的帖子

計算證明第 2 題
設\(x\)、\(y\)、\(z\)皆為正實數,試證:\(\displaystyle \sqrt{xy(x+y)}+\sqrt{yz(y+z)}+\sqrt{zx(x+z)}\le \frac{3}{2}\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\)。

107 台中女中考過,請參考 cefepime 老師的妙解
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2950&page=3#pid18481

小弟的解法如下:
http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=2853

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回復 15# enlighten 的帖子

第1題
求\(17^5+18\)的所有正質因數總和為   
[解答]
\(\begin{align}
  & {{x}^{5}}+x+1 \\
& ={{x}^{5}}-{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+x+1 \\
& ={{x}^{2}}\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)+\left( {{x}^{2}}+x+1 \right) \\
& =\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1 \right) \\
\end{align}\)

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回復 17# enlighten 的帖子

第13題
複數平面上,若複數\(z\)滿足\(|\;z+1-2i|\;-|\;z-5-10i|\;=8\),則\(z\)為到實軸的最近距離為   
[解答]
複數平面上到 (-1,2) 和到 (5,10) 的距離差為 8
圖形為雙曲線\(\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-10 \right)}^{2}}}=8\)的右支
上式可化簡為\(7{{x}^{2}}-24xy+116x+48y-116=0\)
它的右支會與\(y=6+\sqrt{7}\)相切

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