第 14 題
由 \(\frac{3}{7}<\frac{q}{p}<\frac{9}{19}\) 可得  \(\frac{19}{9}q<p<\frac{7}{3}q\)...(1)
整式同加 \(1\) 除 \(q\) 後得  \(\frac{19}{9}+\frac{1}{q}<\frac{p+1}{q}<\frac{7}{3}+\frac{1}{q}\)...(2)
由(2)可知:若存在 \(q\) 為最小之整數使得(1)中範圍之整數 \(p\)  亦存在，此時  \(\frac{p+1}{q}\) 有最大值
\(q=1 \Rightarrow 2.1<p<2.3\)，此時 \(p\) 無解
\(q=2 \Rightarrow 4.2<p<4.6\)，此時 \(p\) 無解
\(q=3 \Rightarrow 6.3<p<7\)，此時 \(p\) 無解
\(q=4 \Rightarrow 8.4<p<9.3\)，此時 \(p=9\) ，即 \(\frac{p+1}{q}\) 有最大值 \(\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\)

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填充15
設 \(S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{k(k+1)}{2^{k}}}\)，\(S=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k(k+1)}{2^{k}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{S_{n}}\)
\(S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{k(k+1)}{2^{k}}}\)
\( \ \ \ \ =\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{C^{k+1}_{2}}{2^{k-1}}}\)
\( \ \ \ \ =\frac{C^{2}_{2}}{2^{0}}+\sum\limits_{k=2}^{n}{\frac{C^{k+1}_{2}}{2^{k-1}}}\)
\( \ \ \ \ =\frac{C^{1}_{1}}{2^{0}}+\sum\limits_{k=2}^{n}{\frac{C^{k}_{1}+C^{k}_{2}}{2^{k-1}}}\)
\( \ \ \ \ =\frac{C^{1}_{1}}{2^{0}}+\sum\limits_{k=2}^{n}{\frac{C^{k}_{1}}{2^{k-1}}}+\sum\limits_{k=2}^{n}{\frac{C^{k}_{2}}{2^{k-1}}}\)
\( \ \ \ \ =\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{C^{k}_{1}}{2^{k-1}}}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}{\frac{C^{k+1}_{2}}{2^{k}}}\)
\( \ \ \ \ =\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{k}{2^{k-1}}}+\frac{1}{2}S_{n-1}\)
\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{S_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{2^{k-1}}}+\frac{1}{2}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{S_{n-1}}\)
\(S=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{2^{k-1}}}+\frac{1}{2}S\)
因此 \(S=2\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{2^{k-1}}}\)
設 \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{2^{k-1}}}=L\)
\(\ \ L=1\cdot(\frac{1}{2})^{0}+2\cdot(\frac{1}{2})^{1}+3\cdot(\frac{1}{2})^{2}+\cdots\)
\(\frac{1}{2}L= \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\cdot(\frac{1}{2})^{1}+2\cdot(\frac{1}{2})^{2}+3\cdot(\frac{1}{3})^{2}+\cdots\)
上下相減得
\(\frac{1}{2}L=1+(\frac{1}{2})^{1}+(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{3}+\cdots\)
\( \ \ \ \ \ =\frac{1}{1-0.5}\)
\( \ \ \ \ \ =2\)
\(L=4\)
\(S=2L=8\)

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第4題
用馬可夫矩陣的方法

\(\frac{5}{32}+\frac{5}{32}=\frac{5}{16}\)

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