第二部分 (計算題)
不透明箱內有編號分別為1至20的二十個球，每次隨機取出一個球，每球取到的機率都相同，記錄其編號後放回箱內；將前\(n\)次取球編號之總和為3的倍數的機率以\(P_n\)表示。
(1)試求\(P_n\)(以\(n\)表示)。
(2)試求滿足\(\displaystyle |\; P_n-\lim_{n \to \infty}P_n|\;<10^{-8}\)的最小自然數\(n\)。
5. (1) 另解: 利用生成函數
球的編號形如 3k+1, 3k+2, 3k 者分別有 7, 7, 6 個。
令 f(x) = ( 7/20 x² + 7/20 x + 6/20 )ⁿ，題意即求 f(x) 中，次數為 3 的倍數之項的係數和。
所求 Pn
= [ f(1) + f(ω) + f(ω²) ] /3 (ω 為 1 的立方虛根)
= [ 1 + (-1/20 )ⁿ + (-1/20 )ⁿ ] /3
= 1/3 + (2/3)*(-1/20)ⁿ
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基於上文 f(x) 的 (...) 內，只有一項係數相異，故將 f(x) 改寫為
f(x) = [ 7/20 x² + 7/20 x + 7/20 + (-1/20) ]ⁿ
可察知展開式的 4ⁿ 個項中，次數為 3m, 3m+1, 3m+2 的項，其係數可以每 3 個彼此相等而歸一組，則只有 (-1/20)ⁿ 此項是孤獨的，而這項屬於次數為 3m 的係數。
即: 若次數為 3m 的項係數和為 Pn，則次數為 3m+1 與 3m+2 的項係數和皆為 Pn - (-1/20)ⁿ
故 Pn + 2*[ Pn - (-1/20)ⁿ ] = 1
⇒ Pn = 1/3 + (2/3)*(-1/20)ⁿ
