填充題 12


另解 1  利用 En 與 En₋₁ 的遞迴關係

由起始處找遞迴:  En = 1 + (1/6)*1 + (5/6)* En₋₁ = 7/6 + (5/6)* En₋₁ ，且 E₂ = 2

或者

由終止處找遞迴:  En = n*(5/6)ⁿ⁻² + En₋₁ - (n-1)*(5/6)ⁿ⁻² =  En₋₁ + (5/6)ⁿ⁻² ，且 E₂ = 2


另解 2  利用幾何分配的結論

若題目條件為 "連續兩次擲出相同的點數即停止" (條件 A)，則所求 = 1 + 1/(1/6) = 7

現又多出 "投擲滿 n 次即停止" (條件 B)，故作以下調整:

投擲 n 次均未有連續兩次同點的機率 = (5/6)ⁿ⁻¹

若只有 條件 A，則以下仍有 1/(1/6) = 6 次的投擲期望值;  但多了條件 B 後，使它 = 0。

故所求 = 7 - 6*(5/6)ⁿ⁻¹

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E₂ 表示: "投擲一骰子，若連續兩次擲出相同的點數或投擲滿 2 次即停止" 的投擲次數期望值。則必然是投擲 2 次。



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樓上 BambooLotus 老師的意思大概是利用:

x / (1-x²) = x + x³ + x⁵ + x⁷ + x⁹+...  ⇒ 所求 = 7!

亦可利用  2*f(x) = 1/(1-x) - 1/(1+x) =  (1-x)⁻¹ - (1+x)⁻¹，微分時就容易看出規律了。

回復 34# Christina 的帖子

第 12 題

由終止處找遞迴:

En = 恰第 n 次結束的期望值 + [ 第 (n-1) 次之前(含)結束的期望值 ]

= n*P(投擲 n-1 次均無連續兩次同點) + [ En₋₁ - 投擲 n-1 次時因為已擲了 n-1 次而停止的期望值 ]

= n*(5/6)ⁿ⁻² + En₋₁ - (n-1)*(5/6)ⁿ⁻²

= En₋₁ + (5/6)ⁿ⁻²


----------------------------


以上是當時發文時的原始想法。但鑒於最後的遞迴式型態簡單，故考慮找出更簡明的想法，如下:


En₋₁ 表示: "投擲一骰子，若連續兩次擲出相同的點數或投擲滿 n-1 次即停止" 的投擲次數期望值。

En 表示: "投擲一骰子，若連續兩次擲出相同的點數或投擲滿 n 次即停止" 的投擲次數期望值。


兩者差在哪?

在擲 n-1 次時，若該停止了，則基本上在擲 n 次時，也該停止了。只有一個例外:

" 投擲 n-1 次均無連續兩次同點時，前者必須終止，後者須再多擲 1 次(無論結果也須終止) "。這個機率是 (5/6)ⁿ⁻²。


故兩者差 1*(5/6)ⁿ⁻²，即 En = En₋₁ + (5/6)ⁿ⁻²

填充題 5

借用樓上 koeagle 老師的圖。


另解一: (不作輔助線)

面積比  △ACD / △ABD = x = 2/AB

⇒ AB = 2/x

△ABC 中，由餘弦定理:

(1+x)² =  1² + 4/x² + 2/x

⇒ (x+2)(x³-2) = 0

⇒ x = ∛2


另解二: (作輔助線)

過 D 作 DF // AC 並交 AB 於 F

由相似三角形，DF = 1 /(1+x)

⇒ AD = √3 /(1+x)

△ACD 中，由畢氏定理:

x² = 1 + 3 /(1+x)²

⇒ (x+2)(x³-2) = 0

⇒ x = ∛2

註: 另解二試圖把題目條件的 30° 納入直角三角形中以利簡化。依此構思，作 BP 垂直 CA 延長線於 P，或作 BQ 垂直 AD 延長線於 Q，亦可。