以下是我的嘗試,頗為繁複。
不妨設 ∠A ≥ ∠B ≥ ∠C。因注意到在等腰直角三角形的情形取等號,故嘗試證明以下兩個引理,原題即可得證:
引理一: 在 ∠A 為定值時,當 ∠B = ∠C,求式有最小值。
引理二: 當 ∠B = ∠C,則 ∠A 愈大,求式值愈小。
引理一的證明:
令 cot A = x,cot B = y,cot C = z
由和角公式: x = (1 - yz) / (y+z) ... (#)
求式 = 1/(x+y) + 1/(x+z) + 1/(y+z)
= [2x+y+z] /[x²+x(y+z)+yz] + 1/(y+z)
= [2x+y+z] /(x²+1) + 1/(y+z) (利用 # 式)
= 2x/(x²+1) + (y+z)/(x²+1) + 1/(y+z)
在 x 為定值時,因為:
1. (y+z)/(x²+1) 與 1/(y+z) 的乘積為定值
2. 當 y = z,(y+z)/(x²+1) 有最小值,而 1/(y+z) 有最大值 (基於 cot 的凹性)
3. 當 y = z, (y+z)/(x²+1) ≥ 1/(y+z) (利用 # 式,及最小角必 ≤ 60°)
綜合 1. 2. 3.,引理一得證。
引理二的證明:
不妨設最大邊長 a = 2,其上的高 = h,則
求式 = f(h) = h/2 + 4h/(1+h²)
f '(h) = (h²-3)² / 2(1+h²)² ≥ 0
即求式值隨 h 遞增而遞增,從而引理二得證。
綜上,求式在等腰直角三角形有最小值 5/2,得證。