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有關三角形邊長與高的不等式證明

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有關三角形邊長與高的不等式證明

三角形三邊長a、b、c及對應的高為h_a、h_b、h_c
試證(a/h_a)+(b/h_b)+(c/h_c)>=5/2

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對於所求式,我用柯西+海龍+算幾,得到下界 2√3,取等條件為正三角形。

題目的下界,似可用排序不等式簡明得到:

(a / h_a) + (b / h_b) + (c / h_c) ≥ (a / h_b) + (b / h_c) + (c / h_a) > 3

(∵ a ≥ h_b,餘類推)

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忘記題目有一條件為非鈍角三角形,謝謝!

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所有三角形皆滿足的性質,當然也適用於"有條件的三角形"。

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下界 2√3 的另一個求法:

題目左式

≥ csc A + csc B + csc C  (排序不等式)

≥ 3 csc 60°  (Jensen 不等式)

= 2√3

[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-10-2 21:08 編輯 ]

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cefepime老師及板上各位老師不好意思,出題者再次向我更正題目為:
非鈍角三角形,邊長a,b,c上對應的高分別為h_a,h_b,h_c,試證
(h_a/a)+(h_b/b)+(h_c/c)>=5/2
造成困擾,抱歉!

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以下是我的嘗試,頗為繁複。

不妨設 ∠A ≥ ∠B ≥ ∠C。因注意到在等腰直角三角形的情形取等號,故嘗試證明以下兩個引理,原題即可得證:

引理一: 在 ∠A 為定值時,當 ∠B = ∠C,求式有最小值。

引理二: 當 ∠B = ∠C,則 ∠A 愈大,求式值愈小。


引理一的證明:

令 cot A = x,cot B = y,cot C = z

由和角公式: x = (1 - yz) / (y+z) ... (#)

求式 = 1/(x+y) + 1/(x+z) + 1/(y+z)

= [2x+y+z] /[x²+x(y+z)+yz] + 1/(y+z)

= [2x+y+z] /(x²+1) + 1/(y+z)  (利用 # 式)

= 2x/(x²+1) + (y+z)/(x²+1) + 1/(y+z)

在 x 為定值時,因為:

1. (y+z)/(x²+1) 與 1/(y+z) 的乘積為定值

2. 當 y = z,(y+z)/(x²+1) 有最小值,而 1/(y+z) 有最大值 (基於 cot 的凹性)

3. 當 y = z, (y+z)/(x²+1) ≥ 1/(y+z)  (利用 # 式,及最小角必 ≤ 60°)

綜合 1. 2. 3.,引理一得證。


引理二的證明:

不妨設最大邊長 a = 2,其上的高 = h,則

求式 = f(h) = h/2 + 4h/(1+h²)

f '(h) = (h²-3)² / 2(1+h²)² ≥ 0

即求式值隨 h 遞增而遞增,從而引理二得證。


綜上,求式在等腰直角三角形有最小值 5/2,得證。

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