9. 設 a, b, c 是正實數。證明: 4a/(b+c) + 4b/(a+c) + c/(a+b) ≥ 7/2


另解: 不妨設 a + b + c = 1。

左式

= 4a/(1-a) + 4b/(1-b) + c/(1-c)

= (-9) + 4/(1-a) + 4/(1-b) + 1/(1-c) ......(#)

再由柯西不等式: [ 4/(1-a) + 4/(1-b) + 1/(1-c) ] * [ (1-a)+(1-b)+(1-c) ] ≥ (2+2+1)²

⇒ 4/(1-a) + 4/(1-b) + 1/(1-c) ≥ 25/2

再代回 #式，得證。

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請參考另一題: https://math.pro/db/thread-2436-2-3.html 13#

之前版主 bugmens 老師曾提示過 "解題策略" 的觀念。從這兩題 thepiano 老師的妙解中 (本帖 2#)，可以體會: 對於非對稱性，一次有理函數形式的最小值問題，可以嘗試的策略為: 把各分母部分設為新變數，並以之表示各分子，再採用算幾不等式求之。至於各算幾不等式取等號的條件"恰好"可吻合，則是題目設計的結果。

3.  另解:

想法: 由 f(x) 的型式，不難聯想到 "二項分配(布)"。

(題目應有言明: 諸 ai 互異，且 f(x) 式中的 "n" 為正整數)

構思一個情境: 有一硬幣，擲出後出現正，反面的機率分別為 x， (1-x)。今進行投擲 n 次之試驗後，共給予基本計分a₀，並且，每擲出一次正面，就另予額外計分 d (d ≠ 0)。在此， d 為數列 <ai> 後項與前項之差 (至少三項時，即 "等差數列的公差")。

則 f(x) 即表示此次試驗的得分期望值。

另一方面，利用期望值具有"和"的性質，該期望值 = a₀+ n*(一次投擲的額外計分期望值) = a₀+ n*x*d

根據 "算兩次"，得 f(x) = a₀+ ndx，為 x 的一次式。

(但是，以上過程僅適用 0 ≤ x ≤ 1，因此尚有下文)

由上述知，對於次數不高於 n 的多項式函數 f(x)，存在無窮多個實數 0 ≤ x ≤ 1，滿足 f(x) = a₀+ ndx。故本題得證。

6. (2) 第一晚及第六晚皆在 A 樹，求這六個晚上的棲息順序有幾種?


另解: 數字化

以逆時針方向為正，則下一晚的位移可能為 0，1，-1 三種。

又經過 5 晚回到原處，則總位移可能為 0，5，-5 三種。


情形 1: 總位移 = 0

1-a  一個 0，二個 1，二個 -1 ⇒ C(5,2)*C(3,2) = 30

1-b  三個 0，一個 1，一個 -1 ⇒ P(5,2) = 20

1-c  五個 0 ⇒ 1


情形 2: 總位移 = 5

五個 1 ⇒ 1


情形 3: 總位移 = -5

同情形 2 ⇒ 1


所求 = 30+20+1+1+1 = 53