這是給國中部的老師考的題目，這......

六道兄，看了您的P.S，辛苦您了XD

第12題
黎曼和，把\(\frac{1}{n}\)弄進根號裡

應該不用取三點，代進去f(x)比較係數即可

第6&10題
見圖

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-5-23 09:39 AM 編輯 ]

第12題
求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{4n^2}\left( \sqrt{4n^2-1^2}+\sqrt{4n^2-2^2}+\sqrt{4n^2-3^2}+\ldots+\sqrt{4n^2-n^2} \right)= \)？
[解答]
\(\begin{align}
  & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{4{{n}^{2}}}\left( \sqrt{4{{n}^{2}}-{{1}^{2}}}+\sqrt{4{{n}^{2}}-{{2}^{2}}}+\sqrt{4{{n}^{2}}-{{3}^{2}}}+\cdots +\sqrt{4{{n}^{2}}-{{n}^{2}}} \right) \\
& =\frac{1}{4}\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\left( \sqrt{4-{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{2}}}+\sqrt{4-{{\left( \frac{2}{n} \right)}^{2}}}+\sqrt{4-{{\left( \frac{3}{n} \right)}^{2}}}+\cdots +\sqrt{4-{{\left( \frac{n}{n} \right)}^{2}}} \right) \\
& =\frac{1}{4}\int_{0}^{1}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}} \\
\end{align}\)
即求X軸、Y軸、x=1和\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\)在第一象限所圍成區域面積的\(\frac{1}{4}\)

計算第2題
這是特徵根相同的遞迴數列，可參考高中數學競賽教程
答案是\(\left( 3-n \right)\times {{2}^{n-2}}\)

第11題
這種考填充，直接用特例正三角形，不用1分鐘

第3題
某學生想安排週日一天的讀書活動，他將時間分成上午四節、下午四節，共八節等長的時間，欲安排入三節數學，以及英文、國文、化學、物理、公民各一節，但是為了避免讀書太單調，所以不管是分別在上午或下午的時段中，任兩節數學課都不可以連排，又因為中午有休息的關係，可以第四、五節同時排數學，則他本次週日的讀書活動有多少種排法？
[解答]
上午排2節數學，下午排1節或反之
上午排2節數學有3種排法，下午排1節數學有4種排法
所求=3*4*5!*2


第4題
近幾年的新聞有看過冤獄國賠的例子，情形如下：凡經檢方起訴，經法官一審後被判有罪，即須入監服刑，服刑完畢之後，無罪的人一定會提起冤獄賠償訴訟，而有罪的人會提起冤獄賠償訴訟的機率為\( \displaystyle \frac{1}{2} \)，且冤獄賠償訴訟只能提告一次，經法官判定後即不能再上訴。假設
(1)被檢方起訴的人有\( \displaystyle \frac{4}{5} \)的人真的有罪，
(2)每位法官誤判的機率為\( \displaystyle \frac{1}{10} \)。
若已知有一個人被判有罪，服滿刑期後，提起了冤獄訴訟，而獲得了國賠。請問他真的應該獲得國賠的機率為？
[解答]
有罪的人，判決有罪，提出國賠，獲得國賠：\( \displaystyle \frac{4}{5}\times \frac{9}{10}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{10}\)
無罪的人，判決有罪，提出國賠，獲得國賠：\( \displaystyle \frac{1}{5}\times \frac{1}{10}\times 1\times \frac{9}{10}\)
所求\( \frac{\displaystyle \frac{1}{5}\times \frac{1}{10}\times 1\times \frac{9}{10}}{\displaystyle \frac{4}{5}\times \frac{9}{10}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{10}+\frac{1}{5}\times \frac{1}{10}\times 1\times \frac{9}{10}}\)

計算第2題
\(\begin{align}
  & {{a}_{2}}-2{{a}_{1}}=-1 \\
& {{a}_{n+2}}-2{{a}_{n+1}}=2\left( {{a}_{n+1}}-2{{a}_{n}} \right) \\
&  \\
& {{a}_{n}}-2{{a}_{n-1}}=-{{2}^{n-2}} \\
& {{a}_{n}}=2{{a}_{n-1}}-{{2}^{n-2}} \\
& =2\left( 2{{a}_{n-2}}-{{2}^{n-3}} \right)-{{2}^{n-2}} \\
& =4{{a}_{n-2}}-{{2}^{n-2}}\times 2 \\
& =4\left( 2{{a}_{n-3}}-{{2}^{n-4}} \right)-{{2}^{n-2}}\times 2 \\
& =8{{a}_{n-3}}-{{2}^{n-2}}\times 3 \\
& : \\
& : \\
& ={{2}^{n-1}}{{a}_{1}}-{{2}^{n-2}}\times \left( n-1 \right) \\
& =\left( 3-n \right)\times {{2}^{n-2}} \\
\end{align}\)

小弟算的答案跟官方公布的一樣，您要不要 post 一下您的算式？