第6題
沒有圖，猜一下
R 在斜邊 AB 上，P 在 AC 上，Q 在 BC 上
當 AR = BR = 5√2 時，△PQR 面積的最小值 = 25/2，此時 CR = 5√2

第9題
\(\begin{align}
  & 10\sin x+x\cos x=0 \\
& 10\tan x=-x \\
\end{align}\)
畫出\(y=10\tan x\)和\(y=-x\)的圖形可知
隨著\(n\)變大，\({{x}_{n}}\)愈接近\(\frac{2n-1}{2}\pi \)
故\(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{x}_{n+1}}-{{x}_{n}})=\pi \)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-5-17 10:25 AM 編輯 ]

第5題
兩顆棋子同色的機率為\(\frac{C_{2}^{6}+C_{2}^{3}}{C_{2}^{9}}=\frac{1}{2}\)
\(\upsilon =np=\frac{5}{2},\sigma =\sqrt{np\left( 1-p \right)}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\begin{align}

  & P(\upsilon -2\sigma \le X\le \upsilon +2\sigma ) \\
& =P(\frac{5}{2}-\sqrt{5}\le X\le \frac{5}{2}+\sqrt{5}) \\
& =1-{{P}_{X=0}}-{{P}_{X=5}} \\
& =1-\frac{1}{{{2}^{5}}}-\frac{1}{{{2}^{5}}} \\
& =\frac{15}{16} \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-5-18 08:30 PM 編輯 ]

第6題
果然先前想得太簡單了

令\(\overline{CR}=x\)，角BRQ=角CPR=\(\theta \)
\(\begin{align}
  & \overline{BR}=10-x,\overline{QR}=\overline{PR}=\frac{x}{\sin \theta } \\
& \frac{\frac{x}{\sin \theta }}{\sin \frac{\pi }{4}}=\frac{10-x}{\sin \left( \frac{3}{4}\pi -\theta  \right)} \\
& \frac{x}{\sin \theta }=\frac{10}{2\sin \theta +\cos \theta } \\
&  \\
& \Delta PQR=\frac{1}{2}{{\overline{PR}}^{2}}=\frac{50}{{{\left( 2\sin \theta +\cos \theta  \right)}^{2}}}\ge 10 \\
\end{align}\)
等號成立於\(\sin \theta =2\cos \theta \)，即\(\sin \theta =\frac{2}{\sqrt{5}},\overline{CR}=\overline{PR}\sin \theta =2\sqrt{5}\times \frac{2}{\sqrt{5}}=4\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-5-18 08:54 PM 編輯 ]

在斜邊上，面積最小只能到12.5，不是題目要的最小值

第6題另解
作QS垂直BC於S
△PCR和△RSQ全等
令CR=SQ=SB =x，RS=10-2x
\(\Delta PQR=\frac{1}{2}\left[ {{x}^{2}}+{{\left( 10-2x \right)}^{2}} \right]=\frac{5}{2}{{x}^{2}}-20x+50\)
x=4時，有最小值10

填充第3題
\({{2}^{106}}\)和\({{3}^{66}}\)都是32位數
前者首位數字是8，後者首位數字是3
加起來會進位成33位數

計算第二題
\(\begin{align}
  & 3\left( x-\alpha  \right)\left( x-\beta  \right)=\left( x-a \right)\left( x-b \right)+\left( x-b \right)\left( x-c \right)+\left( x-c \right)\left( x-a \right) \\
& 3\left( a-\alpha  \right)\left( a-\beta  \right)=\left( a-b \right)\left( a-c \right) \\
& \frac{1}{\left( a-\alpha  \right)\left( a-\beta  \right)}=\frac{3}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)} \\
& \frac{{{a}^{4}}}{\left( a-\alpha  \right)\left( a-\beta  \right)}=\frac{3{{a}^{4}}}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)} \\
&  \\
& \frac{{{a}^{4}}}{\left( a-\alpha  \right)\left( a-\beta  \right)}+\frac{{{b}^{4}}}{\left( b-\alpha  \right)\left( b-\beta  \right)}+\frac{{{c}^{4}}}{\left( c-\alpha  \right)\left( c-\beta  \right)} \\
& =3\left[ \frac{{{a}^{4}}}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{4}}}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{4}}}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)} \right] \\
\end{align}\)
這樣就跟那題差不多了

而那題的做法可參考
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1867&page=7#pid11590

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-6-1 06:47 PM 編輯 ]

推這篇：范德蒙行列式可以做哪些事
小弟也拜讀過

填充第7題
\(\begin{align}
  & 2\Delta ABC=3x+4y+5z=12 \\
& 3{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+4yz+3{{z}^{2}}=3{{x}^{2}}+2{{\left( y+z \right)}^{2}}+{{z}^{2}} \\
& \left[ 3{{x}^{2}}+2{{\left( y+z \right)}^{2}}+{{z}^{2}} \right]\left[ {{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{1}^{2}} \right] \\
& \ge {{\left( 3x+4y+4z+z \right)}^{2}} \\
& 3{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+4yz+3{{z}^{2}}\ge 12 \\
\end{align}\)