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105全國聯招

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回覆第十題
坐標平面上,由原點\(O\)作圓\((x-6)^2+(y-7)^2=10\)得兩切點為\(A,B\)。設\(P\)為射線\(OB\)上一點,則\(\displaystyle \frac{\overline{PO}}{\overline{PA}}\)的最大值為   

令圓心為D,則 \(\displaystyle \sin \angle DOA= \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{85}}, \cos \angle DOA= \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{85}}\)
再令\( \angle PAO= \theta\)由正弦定理,\(\displaystyle \frac{\overline{PO}}{\overline{PA}}= \frac{\sin \theta}{\sin \angle AOP} \)
因 \(\displaystyle \sin \angle AOP = 2 \sin \angle DOA \cos \angle DOA= \frac{2 \sqrt{750}}{85} \),又\( \sin \theta \) 的最大值為1
因此所求等於 \(\displaystyle \frac{1}{\sin \angle AOP } = \frac{85}{2 \sqrt{750}}= \frac{17 \sqrt{30}}{60} \)

怎麼每次都出了考場才想到作法@@

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