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第8題
平面上有兩圓\(C_1\)：\( \displaystyle x^2+y^2=\left( \frac{a}{2} \right)^2 \)，\( C_2 \)：\( x^2+y^2=a^2 \)及一點\( R(b,0) \),\( b>a \)，自\( R \)點作\( C_1 \),\( C_2 \)的切線。若在第一象限的切點分別為\( P,Q \)，令\( O \)為原點，\(∠POQ=\theta\)，求\( \theta \)的範圍。
[解答]
不失一般性，設\(a=2\)
\(\begin{align}
& P\left( \frac{1}{b},\frac{\sqrt{{{b}^{2}}-1}}{b} \right),Q\left( \frac{4}{b},\frac{2\sqrt{{{b}^{2}}-4}}{b} \right),R\left( b,0 \right),b>2 \\
& {{\overline{PQ}}^{2}}=5-\frac{8+4\sqrt{\left( {{b}^{2}}-1 \right)\left( {{b}^{2}}-4 \right)}}{{{b}^{2}}} \\
& \cos \theta =\frac{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}-\left[ 5-\frac{8+4\sqrt{\left( {{b}^{2}}-1 \right)\left( {{b}^{2}}-4 \right)}}{{{b}^{2}}} \right]}{2\times 1\times 2} \\
& =\frac{2+\sqrt{\left( {{b}^{2}}-1 \right)\left( {{b}^{2}}-4 \right)}}{{{b}^{2}}} \\
& =\frac{2}{{{b}^{2}}}+\sqrt{1-\frac{5}{{{b}^{2}}}+\frac{4}{{{b}^{4}}}} \\
& b\to {{2}^{+}},\cos \theta \to \frac{1}{2} \\
& b\to \infty ,\cos \theta \to 1 \\
& 0<\theta <\frac{\pi }{3} \\
\end{align}\)
