13.
注意到 RA, RP, RQ 兩兩垂直，故 R-APQ 體積 = (1/6)*(1/2)*(1/2)*1 = (1/3)*(a△APQ)*h
又 a△APQ = 1 - (1/4) - (1/4) - (1/8) = 3/8，得 h = 1/3

想用坐標的話:
令 R 為原點，RQ, RP, RA 分別為 x, y, z 軸正向
由截距式，APQ 平面方程式: 2x + 2y + z = 1
再由距離公式: h = 1/√(4+4+1) = 1/3

18. a, b, c ∈ R⁺，證明 3(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c) (ab + bc + ca)。

thepiano 老師的方法大概是最簡潔的!


個人嘗試:


1. 排序不等式及其衍申

1-1 排序不等式 / Chebyshev 不等式

3 (a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c) (a² + b² + c²) ≥ (a + b + c) (ab + bc + ca)，得證。

1-2 微微對偶不等式

a³ + b³ + c³ ≥ 3abc
a³ + b³ + c³ ≥ a²b + b²c + c²a
a³ + b³ + c³ ≥ a²c + b²a + c²b

三式相加，得證。


2. Jensen 不等式

3 (a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)³ / 3

(a + b + c)² ≥ 3 (ab + bc + ca)

綜上得證。


3. 柯西不等式(推廣型) [不知道教甄是否允許逕用此法?]

(a³ + b³ + c³) (1 +1 +1) (1 + 1 + 1) ≥ (a + b + c)³

(a³ + b³ + c³) (b³ + c³ + a³) (1 + 1 + 1) ≥ (ab + bc + ca)³

二式相乘，開立方，得證。


4. Muirhead 不等式

因 (3, 0, 0) 蓋 (1, 1, 1) ⇒ a³ + b³ + c³ ≥ 3abc

因 (3, 0, 0) 蓋 (2, 1, 0) ⇒ 2a³ + 2b³ + 2c³ ≥ a²b + b²c + c²a + ab² + bc² + ca²

二式相加，得證。


[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-22 02:22 PM 編輯 ]

1. 下列方程組

x + y = 3*(z + u)

x + z = 4*(y + u)

x + u = 5*(y + z)

的解 (x, y, z, u)，其中 x，y，z 與 u 皆為正整數，求 x 可能的最小值為何?


構想: 由於本題係數分配的特殊性，可以用小學生式的想法解題。

解: 題目三式，分別給出了 x+y，x+z，與 x+u 對於 x+y+z+u 的比值，依序為: 3/4，4/5，5/6。

⇒ x / (x+y+z+u) = [ (3/4) + (4/5) + (5/6) -1 ] / 2 = 83/120

至此，因 83 是質數，且 120 為 4，5，6 之公倍數，即知 x 的最小值 = 83。

(當然亦可依序由藍減綠，得 x : y : z : u = 83 : 7 : 13 : 17 ⇒ 所求 = 83)