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填 6.
設\([x]\)為表示小於或等於\(x\)的最大整數，令\(\displaystyle b_n=\Bigg[\;\frac{n}{1} \Bigg]\;+\Bigg[\;\frac{n}{2} \Bigg]\;+\Bigg[\;\frac{n}{3} \Bigg]\;+\ldots+\Bigg[\;\frac{n}{n} \Bigg]\;\)，則\(b_{2008}-b_{2007}=\) 。
[解答]
若 \( x,k\in\mathbb{N} \) 且 \( k\mid x \)
則 \( x-k\leq x-1<x \Rightarrow\frac{x}{k}-1\leq\frac{x-1}{k}<\frac{x}{k} \Rightarrow[\frac{x-1}{k}]=[\frac{x}{k}]-1 \)。
若 \( x,k\in\mathbb{N} \) 且 \( k\not \mid x \)，則可以得到 \( [\frac{x-1}{k}]=[\frac{x}{k}] \)
而 \( 2008 = 2^3 \times 251\)，故 2008 共有 8 個正因數。
\( b_{2008} - b_{2007} \) 的式子中，把分母相同的兩項依以上規則計算可得 \( b_{2008} - b_{2007} = 8\)
