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小 發表於 2015-10-5 22:09 顯示全部帖子
先感謝 鋼琴老師的精闢解答。
這題我試圖加入一些直觀，希望體會題目的精神。
如上圖左，直角坐標系中，M 為直線 L 上一定點，P 為 L 上動點。我們定義 "MP位移" 為 MP 兩點的距離並含方向性 (以正負表示)，意即 M 兩端的點 P，一端位移規定為正，另一端規定為負; 則 P 的 Y 坐標與"MP位移"呈一線性函數關係。這個符合直觀的結論，只要利用相似三角形，並考慮 M，P 的 Y 坐標即可得出。
現將 P 的 Y 坐標，視為 P 至一直線 X 軸的"有向距離" (以下用 "D" 表示) -- 即兩者距離並含方向性 (以正負表示)。
綜合以上觀察，知: 平面上，某直線 L 上一動點 P 至另一直線的有向距離，與 P 的位移 ( L 上任取一參考點) 呈一線性函數關係。
回到原題，如上圖右，定義 △ABC 內的點關於直線 AB，AC，BC 的有向距離皆取正值。依上述，D(P, BC)，D(P, AB)，D(P, AC) 皆與 P 的位移呈線性函數關係。由於直線MN上有兩相異點 M 與 N，滿足 D(P, BC) = D(P, AB) + D(P, AC)，因此線段MN上任意點 P 必亦滿足之 [由於線性函數 D(P, BC) - D(P, AB) - D(P, AC) 存在兩個零點]，此即題目所欲證 (也可幫助體會為何題目所述會成立)。
而標準的證明，即如 鋼琴老師所述。
更一般地說，只要直線 L 上有兩相異點，滿足 D(P, BC)，D(P, AB)，D(P, AC) 的同一線性關係，則 L 上的點皆然。本題是用角平分線提供一個特例。
考慮第(二)題。如上圖，X，Y，Z 分別是 E 關於 AB，BC，AC 直線的垂足。
由以上討論知 D(E, BC) = D(E, AB) + D(E, AC)，故 d(E, BC) = - d(E, AB) + d(E, AC)，即
EZ = EY + EX
現欲證 1/EB = 1/EA +1/EC
只要證出兩式的各項依序成比例即可，即欲證 EZ*EB = EY*EA = EX*EC
而上列式子可由圓周角性質得出:
∠ECA = ∠EBA ⇒ EZ/EC = EX/EB ⇒ EZ*EB = EX*EC
∠ECB = ∠EAB ⇒ EY/EC = EX/EA ⇒ EY*EA = EX*EC
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