ABC中，BC 的角平分線各交ACAB於MN兩點，求證:MN上任意點P滿足d(PBC)=d(PAB)+(PAC)

嘗試了很多方式
下圖(一)是目前用的，想請問，是方向錯誤或沒看到什麼點嗎?
下圖(二)是原本要證明的，1EB=1EA+1EC
怎麼把(一)的結果用進(二)的證明之中呢?
感謝
(一)

螢幕擷取畫面 (91).png (61.43 KB)

2015-10-1 15:42

(二)

螢幕擷取畫面 (93).png (37.33 KB)

2015-10-1 15:57

[ 本帖最後由 deca0206 於 2015-10-1 04:01 PM 編輯 ]

借您的圖
作MDBC於D，MEAB於E，NJBC於J，NKAC於K
設DN交PI於T
  PG=MPMNNK=MPMNNJ=DIDJNJ=ITPH=NPMNME=NPMNMD=PTPI=PT+IT=PG+PH

明白了，謝謝老師

再借一次您的第(二)個圖
作EXAB於X，EYBC於Y，EZCA於Z
由上一題可證出EX+EY=EZ
  2AEB=ABEX=EAEBsinAEB=EAEBsinACBEX=EAEBABsinACB
同理
  EY=EBECBCsinBACEZ=ECEACAsinCBAEX+EY=EZEAEBABsinACB+EBECBCsinBAC=ECEACAsinCBAEAEB+EBEC=ECEA1EC+1EA=1EB

這題實在很漂亮，不太適合小弟這種有點年紀的中年大叔啊

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-10-2 09:22 PM 編輯 ]

先感謝 鋼琴老師的精闢解答。

這題我試圖加入一些直觀，希望體會題目的精神。

如上圖左，直角坐標系中，M 為直線 L 上一定點，P 為 L 上動點。我們定義 "MP位移" 為 MP 兩點的距離並含方向性 (以正負表示)，意即 M 兩端的點 P，一端位移規定為正，另一端規定為負; 則 P 的 Y 坐標與"MP位移"呈一線性函數關係。這個符合直觀的結論，只要利用相似三角形，並考慮 M，P 的 Y 坐標即可得出。
現將 P 的 Y 坐標，視為 P 至一直線 X 軸的"有向距離" (以下用 "D" 表示) -- 即兩者距離並含方向性 (以正負表示)。
綜合以上觀察，知: 平面上，某直線 L 上一動點 P 至另一直線的有向距離，與 P 的位移 ( L 上任取一參考點) 呈一線性函數關係。

回到原題，如上圖右，定義 △ABC 內的點關於直線 AB，AC，BC 的有向距離皆取正值。依上述，D(P, BC)，D(P, AB)，D(P, AC) 皆與 P 的位移呈線性函數關係。由於直線MN上有兩相異點 M 與 N，滿足 D(P, BC) = D(P, AB) + D(P, AC)，因此線段MN上任意點 P 必亦滿足之 [由於線性函數 D(P, BC) - D(P, AB) - D(P, AC) 存在兩個零點]，此即題目所欲證 (也可幫助體會為何題目所述會成立)。

而標準的證明，即如 鋼琴老師所述。
更一般地說，只要直線 L 上有兩相異點，滿足 D(P, BC)，D(P, AB)，D(P, AC) 的同一線性關係，則 L 上的點皆然。本題是用角平分線提供一個特例。


考慮第(二)題。如上圖，X，Y，Z 分別是 E 關於 AB，BC，AC 直線的垂足。
由以上討論知 D(E, BC) = D(E, AB) + D(E, AC)，故 d(E, BC) = - d(E, AB) + d(E, AC)，即

EZ = EY + EX

現欲證 1/EB = 1/EA +1/EC

只要證出兩式的各項依序成比例即可，即欲證 EZ*EB = EY*EA = EX*EC

而上列式子可由圓周角性質得出:

∠ECA = ∠EBA ⇒ EZ/EC = EX/EB ⇒ EZ*EB = EX*EC

∠ECB = ∠EAB ⇒ EY/EC = EX/EA ⇒ EY*EA = EX*EC

引用:

原帖由 thepiano 於 2015-10-2 09:14 PM 發表
再借一次您的第(二)個圖
作EXAB於X，EYBC於Y，EZCA於Z
由上一題可證出EX+EY=EZ
...

請問如何
由上一題可證出EX+EY=EZ?

上一題結論PI=PG+PH
作EXAB於X，EYBC於Y，EZ於Z
取\overline{PN}=\overline{EN}，則\overline{PH}=\overline{EX}
\begin{align}   & \overline{PI}+\overline{EY}=2\overline{NJ}=2\overline{NK}=\overline{PG}+\overline{EZ} \\ & \overline{PG}+\overline{PH}+\overline{EY}=\overline{PG}+\overline{EZ} \\ & \overline{EX}+\overline{EY}=\overline{EZ} \\ \end{align}