102高中數學能力競賽

很久以前做過，忘得差不多了，第 7 題

考慮 \( \left\langle a_{n}\right\rangle _{n=1}^{5}:a,b,c,d,e \) 為滿足題意的一組數列，不失一般性假設 \( a+b\leq d+e \)。

則有另一組數列 \( \left\langle a_{n}\right\rangle _{n=1}^{5}:e,d,c,d,e \) 滿足題意，且其總和大於或等於上面給的數列。

令 \( f=\max\{c,e\} \)，則 \( \left\langle a_{n}\right\rangle _{n=1}^{5}:f,d,f,d,f \) 滿足題意，且其總和大於或等於上面給的數列。

因此對任何一個滿足題意的數列 \( \left\langle a_{n}\right\rangle _{n=1}^{5}:a,b,c,d,e \)，我們都能找到另一個滿足題意的數列 \( \left\langle a_{n}\right\rangle _{n=1}^{5}:f,d,f,d,f \)，使得 \( a+b+c+d+e\leq3f+2d \)。

又 \( f^{2}+d^{2}\leq1 \)，由柯西不等式可得 \( a+b+c+d+e\leq3f+2d\leq\sqrt{13} \)，當 \( a=c=e=f=\frac{3}{\sqrt{13}}, b=d=\frac{2}{\sqrt{13}} \)，數列的總和達最大值 \( \sqrt{13} \) 。