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在\(xy\)平面上，以拋物線\(\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2\)上的點\(P(a,b)\)為中心，作與\(y=-1\)相切的圓\(C\)，且記切點為\(M\)。設\(a>2\)，圓\(C\)與\(y\)軸相交於兩點\(H\)與\(L\)(\(L\)較\(H\)靠近原點)。扇形\(PLM\)(中心角較小的那一個)的面積記為\(S(a)\)，三角形\(\Delta PHL\)的面積記為\(T(a)\)，求\(\displaystyle \lim_{a\to \infty}\frac{T(a)}{S(a)}\)。
[解答]
只想到這方法！
設\(\displaystyle P(t,\frac{1}{4}t^2),t>2\)
\(\displaystyle (x-t)^2+(y-\frac{1}{4}t^2)^2=(\frac{1}{4}t^2+1)^2\)
令\(x=0\)
\(\displaystyle t^2+(y-\frac{1}{4}t^2)^2=\frac{1}{16}t^4+\frac{1}{2}t^2+1\)
\((y-\frac{1}{4}t^2)^2=\frac{1}{16}t^4-\frac{1}{2}t^2+1=(\frac{1}{4}t^2-1)^2\)
\(\displaystyle y-\frac{1}{4}t^2=\pm(\frac{1}{4}t^2-1)\)
\(y=1\)or\(\displaystyle \frac{1}{2}t^2-1\)
\(\displaystyle L(0,1),H(0,\frac{1}{2}t^2-1),M(t,-1)\)
\(T(a)=\frac{1}{2}|\;\left| \matrix{0&0&t&0\cr 1&\frac{1}{2}t^2-1&\frac{1}{4}t^2&1}\right| |\;=\frac{1}{2}\left|\ -\frac{1}{2}t^3+\frac{3}{2}t\right|\)
\(S(a)=\frac{1}{2}|\;\left| \matrix{0&t&t&0\cr 1&-1&\frac{1}{4}t^2&1} \right| |\;=\frac{1}{2}\left|-\frac{1}{4}t^3-t \right|\)
\(\displaystyle \lim_{a \to \infty}\frac{T(a)}{S(a)}=\lim_{t\to \infty}\left| \frac{-\frac{1}{2}t^3+\frac{3}{2}t}{-\frac{1}{4}t^3-t} \right|=2\)
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2016-12-1 10:45
