第 5 題是否可以這樣: (借用一下 leo790124 老師 的巧思)
已知 x 是複數，5x⁴ + 10x³ + 10x² + 5x + 1 = 0，證明: x 的實部恆等於 -1/2。
解: 原式的係數極似 (a + b)⁵ 展開後的係數 (1,5,10,10,5,1)，因此與之聯想，將原式"補全"，化為:
(x + 1)⁵= x⁵
上式的"還原現象"，不難想到絕對值 (或者說，由於 x+1 與 x 皆為某數的 5 次方根，因此它們絕對值相等):
| (x + 1)⁵| = | x⁵|
| x + 1 |⁵= | x |⁵
| x + 1 | = | x | (絕對值是實數)
至此用圖解就很簡明了，或令 x = a + bi 代入 (a, b ∈ R)
| (a +1) + bi | = | a + bi |
(a +1)² + b² = a² + b²
a = - 1/2
引申:
若複數 Z 滿足 ( Z + k ) ⁿ = Z ⁿ，0 ≠ k ∈ R，n ∈ N
則 R (Z) = - k / 2
[ 本帖最後由 cefepime 於 2015-6-29 03:27 PM 編輯 ]
