填充第4題，試用圖解來體會。

104新北市高中聯招填充第4題.png (6.66 KB)

2015-6-6 22:34

由 y = ∛x 圖形的凹性，可知 0 < ∛(2 + √α) + ∛(2 - √α) < 2∛2 = 2.~   (故題目敘述應可把 "正整數" 改為 "整數")
並可進一步體會 ∛(2 + √α) + ∛(2 - √α) 的值由 ≒ 2∛2 (α ≒ 0) 開始，隨著 α 值增加而呈連續遞減至趨近於0。
因此， ∛(2 + √α) + ∛(2 - √α)  = 2 or 1，各恰有一 α 解。

再利用 a³ + b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b)

1.
∛(2 + √α) + ∛(2 - √α)  = 2
4 = 8 - 6∛(4 - α)
α = 100/27

2.
∛(2 + √α) + ∛(2 - √α)  = 1
4 = 1 - 3∛(4 - α)
α = 5

原解法應該只需保證 "x,y,z 所圍成的三角形非鈍角三角形"即可。

這件事我想可以用作圖的"同一法"，或設三角形為鈍角三角形列式而與原式矛盾，而證明。

這樣解釋的話，是否應該再說(證)明這個構成銳角三角形的 x, y, z 是唯一解? (因為以上解題過程只證明"存在性")

作圖的"同一法"，應該可以說明"唯一存在"非鈍角三角形。