計算2，這類的方程式常常可以使用差分

利用差分，即令 \( b_{n} = a_{n+1} - a_n \), \( c_n = b_{n+1} - b_n \) for all \( n \in \mathbb N \)

算出 \( a_n \) 的前三項可得 \( a_1 =1, a_2= 3, a_3 =10, b_1 = 2, b_2 = 7, c_1 = 5 \)

原遞迴關係經兩次差分後得 \( c_{n+1} = 2 c_n +2 \) for all \( n \in \mathbb N \)

由 \( c_1 = 1 \) 可解得 \( c_n = 7 \cdot 2^{n-1} -2 \)，

再由 \( b_{n+1} = b_1 + \displaystyle \sum_{k=1}^n c_n \) 及 \( a_{n+1} = a_1 + \displaystyle \sum_{k=1}^n b_n \)

可解得 \( b_n \), \( a_n \)

計算 2. 換一個類似平移的作法

令 \( a_{n}=b_{n}-n^{2} \)，則 \( b_{n+1}=2b_{n}+2n+1 \)

令 \( b_{n}=c_{n}-2n \)，則 \( c_{n+1}=2c_{n}+3\Rightarrow  c_{n+1}+3=2(c_{n}+3) \)

而 \( a_n =b_n - n^2 = c_n -2n - n^2 \Leftrightarrow c_n = a_n + 2n +n^2 \)

\( c_{1}=2\cdot1+1^{2}+a_{1}=4 \)，又 \( c_{n+1}+3=2(c_{n}+3) \)，故 \( \left\langle c_{n}+3\right\rangle \) 為等比數列，其一般式 \( c_{n}+3=2^{n-1}\cdot(4+3) \)，

整理得 \( c_{n}=7\cdot2^{n-1}-3 \)，故 \( a_{n}=7\cdot2^{n-1}-3-2n-n^{2} \)。

填充2. 圖形很規則
(1) \( \sqrt{1-x^2} = y \) 是半圓
(2) 討論底數 \( 0<x+y<1 \) 及 \( x+y>1 \)
處理不等式即可