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104台中女中

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回復 4# weiye 的帖子

題目應該如站長大所示

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第11題另解
設\((x,y)\)為圓\((x-2)^2+(y-1)^2=5\)上一動點,且\((x,y)\)非原點,則所有複數點\(\displaystyle z=\frac{20}{x+yi}\)的軌跡方程式為   


\(\begin{align}
  & z=a+bi \\
& x+yi=\frac{20}{a+bi}=\frac{20\left( a-bi \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\
& x=\frac{20a}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}},y=-\frac{20b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\
& {{\left( \frac{20a}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( -\frac{20b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-1 \right)}^{2}}=5 \\
& {{\left[ 20a-2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right) \right]}^{2}}+{{\left[ 20b+\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right) \right]}^{2}}=5{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}} \\
& 400{{a}^{2}}-80a\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+400{{b}^{2}}+40b\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=0 \\
& 10{{a}^{2}}-2a\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+10{{b}^{2}}+b\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=0 \\
& \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( -2a+b+10 \right)=0 \\
& 2a-b-10=0 \\
\end{align}\)
所求為\(2x-y-10=0\)

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回復 15# linteacher 的帖子

填充第6題送分了

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回復 23# hotking39 的帖子

應是 \(-2\le z<\frac{9}{2}\),答案應該是24
不會吧,台中女中已經改過一次成績了……
一題 5 分,一來一往可能差 10 分

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-4-16 06:00 PM 編輯 ]

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回復 27# Callmeluluz 的帖子

\(4x^3 - 24x^2 + (47 + c)x - (33 + 3c) = 0\)
\((x - 3)(4x^2 - 12x + c + 11) = 0\)

實根是 3,故\(4x^2 - 12x + c + 11 = 0\)無實根

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回復 30# 小姑姑 的帖子

那是 cshuang 老師的妙解,小弟也深感佩服,居然有如此的好眼力

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回復 1# Chen 的帖子

這個之前討論過了,且該校早已公布錄取名單......
https://math.pro/db/thread-2208-3-1.html

另外,引述一下版主的名言,相同主題請合併討論

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回復 34# qaz 的帖子

信哥誤把餘弦定理的"-"打成"+"

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回復 39# maddux0706 的帖子

3.
四邊形\(ABCD\)中,\(\overline{AB}=2\sqrt{2}\),\(\overline{BC}=4\),\(\overline{CD}=3\),\(∠B=45^{\circ}\),\(∠C=90^{\circ}\),點\(P\)在\(\overline{AB}\)上,點\(Q\)在\(\overline{CD}\)上,若\(\overline{PQ}\)平分四邊形\(ABCD\)的面積,則\(\overline{PQ}\)的最小值為   
[解答]
\(\begin{align}
  & ABCD=7 \\
& PQCB=\Delta CQP+\Delta CBP=\frac{1}{2}xy+\left( 8-2x \right)=\frac{7}{2} \\
& xy=4x-9 \\
& y-4=-\frac{9}{x} \\
& {{\overline{PQ}}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( 4-x-y \right)}^{2}} \\
& ={{x}^{2}}+{{\left[ x+\left( y-4 \right) \right]}^{2}} \\
& ={{x}^{2}}+{{\left( x-\frac{9}{x} \right)}^{2}} \\
& =2{{x}^{2}}+\frac{81}{{{x}^{2}}}-18 \\
& \ge 2\sqrt{2\times 81}-18 \\
& =18\sqrt{2}-18 \\
\end{align}\)
等號成立於\(x=\frac{3}{\sqrt[4]{2}}\)
此時\(\overline{PQ}=3\sqrt{2\sqrt{2}-2}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-5-20 10:18 PM 編輯 ]

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回復 49# Superconan 的帖子

計算第二題
請參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=1264
上面的檔案是用 PQ = 4 做的
若 PQ = 8,答案是 x^2 / 4 - y^2 / 12 = 1

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