回復 13# tsyr 的帖子
第三題
令\(\tan \alpha =x,\tan \beta =y,\tan \gamma =z\)
題目轉為：\(0<x,y,z<1,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=\sqrt{3}\)，證明\(\frac{2x}{1-{{x}^{2}}}+\frac{2y}{1-{{y}^{2}}}+\frac{2z}{1-{{z}^{2}}}\ge 9\)
\(\begin{align}
& \frac{2x}{1-{{x}^{2}}}+\frac{2y}{1-{{y}^{2}}}+\frac{2z}{1-{{z}^{2}}} \\
& =\frac{2{{x}^{2}}}{x-{{x}^{3}}}+\frac{2{{y}^{2}}}{y-{{y}^{3}}}+\frac{2{{z}^{2}}}{z-{{z}^{3}}} \\
& \ge \frac{2{{x}^{2}}}{\frac{2}{9}\sqrt{3}}+\frac{2{{y}^{2}}}{\frac{2}{9}\sqrt{3}}+\frac{2{{z}^{2}}}{\frac{2}{9}\sqrt{3}} \\
& =9 \\
\end{align}\)
\(x-{{x}^{3}}\le \frac{2}{9}\sqrt{3}\)這部分可用微分或算幾不等式去做
[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-3-13 12:04 PM 編輯 ]
