小弟的答案，有錯請指正

(一)
(1) 120
(2) 625
(3) 5
(4) 70
(5) 1080

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-11-15 02:44 PM 編輯 ]

是小弟加錯了，囧

第 1 題
(5)
這 4 名高中生吃的第二碗冰有二個條件
(i) 每個人吃的冰仍都不同
(ii) 每個人吃的都是其餘三人第一碗冰的其中之一

假設 4 名學生分別是甲、乙、丙、丁
第一碗冰分別是吃 A、B、C、D
比較快的方法是畫樹狀圖
這樣第二碗冰的吃法是 9 種
所求 = 120 * 9 = 1080

第 2 題
小弟漏看"高一高二高三各 5 名"這個條件，再想想有沒有好方法

第 2 題
高一以 A 代表，高二以 B 代表，高三以 C 代表

A 的右邊一位只能是 A 或 B
B 的右邊一位只能是 B 或 C
C 的右邊一位只能是 C 或 A

以下分類討論

(1) (5A)(5B)(5C)
有 1 種情形
即 (AAAAA)(BBBBB)(CCCCC)

先考慮 A 的拆法，B 和 C 的拆法同 A
(2) 5A = 4A + A = A + 4A = 3A + 2A = 2A + 3A，A 有 4 種拆法
搭配 B 和 C 的拆法，共有 4^3 = 64 種情形
例：(AAAA)(BBBB)(CCCC)ABC，A(BBBB)(CCCC)(AAAA)BC，(AAA)(BBB)(CCC)(AA)(BB)(CC)，(AA)(BB)(CC)(AAA)(BBB)(CCC)，......

(3) 5A = 3A + A + A = A + 3A + A = A + A + 3A = 2A + 2A + A = 2A + A + 2A = A + 2A + 2A，A 有 6 種拆法
搭配 B 和 C 的拆法，共有 6^3 = 216 種情形
例：(AAA)(BBB)(CCC)ABCABC，......

(4) 5A = 2A + A + A + A = A + 2A + A + A = A + A + 2A + A = A + A + A + 2A，A 有 4 種拆法
搭配 B 和 C 的拆法，共有 4^3 = 64 種情形
例：(AA)(BB)(CC)ABCABCABC，......

(5) 5A = A + A + A + A + A
有 1 種情形
即 ABCABCABCABCABC

由於每個年段的 5 個學生都相異
所求 = (1 + 64 + 216 + 64 + 1) * (5!)^3 = 346 * (5!)^3

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-11-16 10:28 AM 編輯 ]

第 2 題稍加修正一下又是另一個題目

若一個十五位數的每一位數字都是由 1 或 2 或 3 組成，且滿足以下 5 個條件，則這樣的十五位數有幾個？
(1) 最高位是 1
(2) 個位是 3
(3) 1 的右邊一位只能是 1 或 2
(4) 2 的右邊一位只能是 2 或 3
(5) 3 的右邊一位只能是 3 或 1