提供一些略解：
填3：
利用圓外冪性質，\(CD\cdot BD=11\cdot 183=3\cdot 11\cdot 61\) 在驗證一下即可

填8：
設\(f\left( x \right)=\left( x-{{\alpha }_{1}} \right)\left( x-{{\alpha }_{2}} \right)...\left( x-{{\alpha }_{10}} \right)\Rightarrow f\left( {{x}^{3}}-1 \right)=\left( {{x}^{3}}-\left( {{\alpha }_{1}}+1 \right) \right)\left( {{x}^{3}}-\left( {{\alpha }_{2}}+1 \right) \right)...\left( {{x}^{3}}-\left( {{\alpha }_{10}}+1 \right) \right)\) 每個括號的3個根和為0, 故所有根的和為0

填16：
三角不等式：\(\left| \left| a \right|-2\left| b \right| \right|\le k\left| c \right|=\left| a+2b \right|\le \left| a \right|+2\left| b \right|\Rightarrow 1\le k\le \frac{5}{3}\)

填13：
因為襪子只有4種顏色，由鴿籠原理，取5隻至少可以取得1雙，扣掉這一雙後還有3隻襪子，再補2隻又至少可再得一雙，依此類推，
要取得10雙最少要取 5+2*9=23 (隻)

填18：
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{n}\left( {{\left( 2+\frac{2k-1}{n} \right)}^{2}} \right)}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{n}\left( {{\left( 2+\frac{2k-1}{n} \right)}^{2}} \right)}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}{{{\left( 2+x \right)}^{2}}dx}=\frac{28}{3}\)

填21：
由柯西不等式：
\(\left( {{a}_{2}}+{{a}_{3}}+\ldots +{{a}_{2014}} \right)\left( \frac{1}{{{a}_{2}}}+\frac{1}{{{a}_{3}}}+\ldots +\frac{1}{{{a}_{2014}}} \right)\ge {{2013}^{2}}\Rightarrow \left( 2015-{{a}_{1}} \right)\left( 2015-\frac{1}{{{a}_{1}}} \right)\ge {{2013}^{2}}\Rightarrow {{a}_{1}}+\frac{1}{{{a}_{1}}}\le \frac{8057}{2015}\)

填23：
判別式大於0, 檢驗條件
\(\left\{ \begin{align}
  & \left( \alpha +\frac{9}{5} \right)\left( \beta +\frac{9}{5} \right)>0 \\
& \left( \alpha -\frac{3}{7} \right)\left( \beta -\frac{3}{7} \right)>0 \\
\end{align} \right.\) 利用根與係數即可

填24：
計算n(丙丁戊不相鄰)-n(丙丁戊不相鄰，甲乙相鄰)即可

填25：
\(\left\{ \begin{align}
  & a+ar+a{{r}^{2}}=19 \\
& \left( a+1 \right)+\left( a{{r}^{2}}+6 \right)=2\left( ar+5 \right) \\
\end{align} \right.\), 將\(a{{r}^{2}}=19-\left( a+ar \right)\) 帶入下式求出\(ar\)即可

填26：一開始用向量，但計算上好像也沒有比較快，故直接利用兩垂足面加上平面ABC去求：
\(\left\{ \begin{align}
  & x+3y-4z=19 \\
& x-y=-9 \\
& x+y+z=20 \\
\end{align} \right.\Rightarrow \left( x,y,z \right)=\left( 3,12,5 \right)\)

2013.06.28 感謝版友YAG 觀念指正

填28：之前有很多類似的討論串，103台中女中、101文華代理…等
\({{a}_{n}}=\frac{\left( k-1 \right)\left( {{\left( k-1 \right)}^{n-1}}+{{\left( -1 \right)}^{n}} \right)}{k},\forall n\ge 2\), 本題帶\( k=3,n=10\) 即可

填29：投影算子觀念，取\(\overrightarrow{v}=\left( \begin{matrix}
   a  \\
   b  \\
\end{matrix} \right)\Rightarrow P=\frac{\overrightarrow{v}\cdot {{\left( \overrightarrow{v} \right)}^{T}}}{{{\left( \overrightarrow{v} \right)}^{T}}\cdot \overrightarrow{v}}\)

填30：結束時甲必為7票，乙必為6票，計算size 為\(6\times 7\)的捷徑問題，但有兩條違規線不能經過，計算一下可得到答案729

觀察 \(\left\{ \begin{align}
  & {{x}^{2}}+ax+d=0 \\
& {{x}^{2}}+bx+c=0 \\
\end{align} \right.,\left\{ \begin{align}
  & {{x}^{2}}+dx+a=0 \\
& {{x}^{2}}+cx+b=0 \\
\end{align} \right.\) 的四個多項方程式：
(1)        左式的相同根與右式的相同根互為倒數(若存在的話)
(2)        若左式的共同根為1, 則右式的共同根亦為1

本題若已知解唯一(當然沒辦法已知XD)，則可把1的值帶入左式，在不違背題意的情況下，可得到\(a+b+c+d=-2\) (本題\(d=1\))

不過這種做法純粹靠運氣(毫無嚴謹度)，David 兄的做法已經很簡潔了

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-19 08:21 PM 編輯 ]

這種做法的觀念大概就是化歸法，轉化成走捷徑問題，往右走一步對應到甲得一票，往上走一步對應到乙得一票
(key word：一路領先問題，可搜尋到很多討論串)
但是兩人的差距可以在兩票以內，畫圖之後考慮那兩條線是走捷徑不能碰到的臨界線
用東北角法即可，但是有趣的是，對角線會成公比為3的等比，可以玩玩看此性質，
附個圖應該比較好懂

peter兄你這算法相當漂亮~讚
東北角法就是一般走捷徑的累加法而已，其實沒有什麼賣點XD