第2題幫確定(集氣)是n,
\( \displaystyle \sum\limits_{k=0}^{\infty }{\left[ \frac{n+{{2}^{k}}}{{{2}^{k+1}}} \right]}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{\left( \left[ \frac{n}{{{2}^{k}}} \right]-\left[ \frac{n}{{{2}^{k+1}}} \right] \right)}=\left[ n \right]=n,\forall n\in \mathbb{N}\)

寸絲兄你這個算式才神吧 XD
是用了 \(\displaystyle \left[ x \right]+\left[ x+\frac{1}{2} \right]=\left[ 2x \right]\) 沒錯

解一題填充2：
以前看過類似的題目，是兩人賭錢的問題求某人把錢贏光的機率：
本題假設\(\left\{ {{P}_{n}} \right\}\)的一般項\({{P}_{k}}\)表示一開始位置落在數線上\(k\)時，質點能落在-1的機率，則所求為\({{P}_{0}}\).
(1) 先觀察 \({{P}_{0}}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{{P}_{1}}\),
(2) \({{P}_{1}}\)表示一開始在1要走到-1的機率，由乘法原理，可以拆成兩個步驟：1走到0, 0走到-1，兩步驟機率都是\({{P}_{0}}\), 故\({{P}_{1}}={{\left( {{P}_{0}} \right)}^{2}}\)
(3) 代回上式，解\({{P}_{0}}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{{\left( {{P}_{0}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{P}_{0}}=\frac{1}{2}\) (向右的機率比較大，故\({{P}_{0}}=1\)不合)
這題值得一提的是，若向右向左的機率依樣時，則不斷持續的擲下去，百分之百會跑到-1, 有點不太直觀。

(剛剛看到版主有在 #2 附上本題的相關文章，寫得比我清楚多了，大家也可以參考)

填充3： \(\int_{0}^{4}{\frac{1}{\sqrt{x}}dx}\)
填充4：跟103武陵高中第9題類似，作法差不多
填充5：生成函數或者重複組合
填充7：好像有公式，不太確定能不能用紅球與非紅球的觀念下去帶
填充10：不論是哪連續三列寫開，答案都是 1 / 2

計算11：
之前看過寸絲兄用過的神招，印象深刻，算是現學現賣XD
考慮拋物線 \({{y}^{2}}=8px\), 過焦點\(\left( 2p,0 \right)\)與拋物線所截的所有線段中，以正焦弦所在直線\(x=2p\)所截的長度為最短。考慮線性映射\(\left( x,y \right)\mapsto \left( x,\frac{y}{2} \right)\) ,將\(y\)座標壓(伸縮)為\(\frac{1}{2}\)倍，可得到拋物線\({{y}^{2}}=2px\) , 故過\(\left( 2p,0 \right)\)與此拋物線所截的所有線段中，亦以直線\(x=2p\)所截的長度為最短，證畢。

103.07.26 小弟這邊處理的不夠細膩，請在參閱寸絲兄在 #27 的補充說明。

計算15：
用Jacobian證：
考慮\(x=0,y=0,z=0,x={{d}_{1}},y={{d}_{2}},z={{d}_{3}}\) 所圍區域體積為\(V=\left| {{d}_{1}}{{d}_{2}}{{d}_{3}} \right|\)
考慮線性變換：
\( \displaystyle \left\{ \begin{align}
  & x={{a}_{1}}x'+{{b}_{1}}y'+{{c}_{1}}z' \\
& y={{a}_{2}}x'+{{b}_{2}}y'+{{c}_{2}}z' \\
& z={{a}_{3}}x'+{{b}_{3}}y'+{{c}_{3}}z' \\
\end{align} \right.\Rightarrow \frac{\partial \left( x,y,z \right)}{\partial \left( x',y',z' \right)}=\left| \begin{matrix}
   {{a}_{1}} & {{b}_{1}} & {{c}_{1}}  \\
   {{a}_{2}} & {{b}_{2}} & {{c}_{2}}  \\
   {{a}_{3}} & {{b}_{3}} & {{c}_{3}}  \\
\end{matrix} \right|=\Delta \)
則\( \displaystyle V'=\left| \frac{\partial \left( x',y',z' \right)}{\partial \left( x,y,z \right)} \right|V=\frac{V}{\Delta }\), 得證
純幾何的方式可能等高手待補，這一塊小弟不是很擅長XD

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-7-26 08:10 PM 編輯 ]

第10題給你參考
假設第k列、第k+1列、第k+2列的一般項為\({{a}_{i}},{{b}_{i}},{{c}_{i}}\) 則\( \displaystyle \sum\limits_{i=0}^{k+1}{\frac{{{b}_{i}}}{{{c}_{i}}}}-\sum\limits_{i=0}^{k}{\frac{{{a}_{i}}}{{{b}_{i}}}}=\sum\limits_{i=0}^{k+1}{\frac{C_{i}^{k+1}}{C_{i}^{k+2}}}-\sum\limits_{i=0}^{k}{\frac{C_{i}^{k}}{C_{i}^{k+1}}}=\sum\limits_{i=0}^{k+1}{\left( 1-\frac{i}{k+2} \right)}-\sum\limits_{i=0}^{k}{\left( 1-\frac{i}{k+1} \right)}=\frac{1}{2}\)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-12 09:38 AM 編輯 ]

第8題：
一開始我也想說用向量解~但這想法解到一半就有點複雜~
如圖觀察此圓為三角形\(CBZ\)的內切圓，令\(\overline{AD}=2r,\overline{CD}=\overline{CF}=x,\overline{BD}=\overline{BE}=y,\overline{ZE}=\overline{ZF}=z\),
則由母子相似性質, \({{\left( 2r \right)}^{2}}=xy\), 再結合 \({{r}^{2}}=\frac{xyz}{\left( x+y+z \right)}\)(由海龍公式推得),
可得知\(x+y=3z\), 故 \(\overline{ZB}+\overline{ZC}=10\Rightarrow x+y+2z=10\Rightarrow z=2\Rightarrow x+y=6\)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-13 08:56 PM 編輯 ]

其實我幾何這塊也不是很擅長
若是在考場~一定沒辦法在時間內想到
也是事後諸葛~看GGB看了很久才亂湊出XD

多謝提醒~這瓜現學現賣得還不夠XD這地方若寸絲兄沒提醒，小弟應該不太會注意到，小弟馬上來註解一下

話說寸絲兄客氣了XD~~想法真的非常細膩，再一次見識到了，真神人也~

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-7-29 03:05 PM 編輯 ]

應該不用硬解，解出此三點的關係為正三角形即可

\( \displaystyle x=\frac{\gamma }{2}\left( \frac{1\pm \sqrt{3}}{2} \right)=\frac{\gamma }{2}\left( \cos 60{}^\circ \pm i\sin 60{}^\circ  \right)\Rightarrow \left| x \right|=\left| \frac{\gamma }{2} \right|=\frac{5}{2}\)
將A,B兩點看成是\(\gamma \)伸縮一半後旋轉正負60度
畫圖知三角形ABC會成正三角形，邊長為\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot 2=\frac{5\sqrt{3}}{2}\)
故所求為\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}{{\left( \frac{5\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=\frac{75\sqrt{3}}{16}\)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-7-29 02:59 PM 編輯 ]

AB應該是C跟原點連線的中點所轉出來的點:）