填充二
已知\(0<\theta<\pi\)，若方程式\(x^2-4xcos2\theta+2=0\)的一個實根與方程式\(2x^2+4xsin2\theta+1=0\)的一個實根互為倒數，則\(\theta=\) 。
[解答]
假設第一個方程式的兩根為 \( p,q \)
那麼 \(\displaystyle p+q=4\cos{2\theta},pq=-2 \)
第二個方程式兩根為 \( \frac{1}{p},r \)
那麼 \(\displaystyle \frac{1}{p}+r=-2\sin{2\theta}, \frac{r}{p}=-\frac{1}{2} \)
於是 \(\displaystyle qr=1 \)
\(\displaystyle \frac{1}{p}+r= \frac{1}{p}+ \frac{1}{q}= \frac{p+q}{pq}=\frac{4\cos{2\theta}}{-2}=-2\sin{2\theta} \)
\(\displaystyle \tan{2\theta}=-1 \)
