計算3：
提供一個無美感的硬算：
\(f'\left( x \right)=\left( x-b \right){{\left( x-c \right)}^{2}}g\left( x \right)\), 其中\(g\left( x \right)=\left( x-b \right)\left( x-c \right)+2\left( x-a \right)\left( x-c \right)+3\left( x-a \right)\left( x-b \right)\)
(1) 觀察\(x=b\)跟 \(g\left( x \right)=0\) 的兩根為產生極值的地方
(2) 由勘根知\(g\left( x \right)=0\) 的兩根分別落在區間 \(\left( a,b \right),\left( b,c \right)\), 故可推知 \(b=0\)
(3) 最後，\(g\left( x \right)=\left( x-b \right)\left( x-c \right)+2\left( x-a \right)\left( x-c \right)+3\left( x-a \right)\left( x-b \right)=6\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\)
代 \(x=0\Rightarrow ac=-3,x=a\Rightarrow a\left( a-c \right)=6\left( {{a}^{2}}-1 \right)\), 解出 \(a=\frac{-3}{\sqrt{5}},c=\sqrt{5}\)

計算2：
令\(P\left( i \right),P'\left( i \right)\)分別代表甲乙擲到最大點數為\(i\)之機率，則
\(P\left( i \right)=\frac{2i-1}{{{6}^{2}}},P'\left( i \right)=\frac{3{{i}^{2}}-3i+1}{{{6}^{3}}},1\le i\le 6\), 則甲獲勝之機率為
\(\sum\limits_{k=1}^{6}{\left( P\left( k \right)\sum\limits_{i=1}^{k}{P'\left( i \right)} \right)}=\sum\limits_{k=1}^{6}{\left( \frac{2k-1}{{{6}^{2}}}\cdot {{\left( \frac{k}{6} \right)}^{3}} \right)}=\frac{1}{{{6}^{5}}}\sum\limits_{k=1}^{6}{\left( {{k}^{3}}\left( 2k-1 \right) \right)}>\frac{1}{2}\)
最後面的計算我是先寫開，然後估計一下分子分母的千位數得知，不知道有沒有更好的估計法，故本題甲獲勝的機率較大。


若手殘算錯也請大家幫小弟指證~遇到這種問題好像都很常算錯~唉

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-11 02:14 PM 編輯 ]

因為極值會發生在一階導數由正轉負或由負轉正的瞬間
這是一階導數測試法的精神，而本題在x=c的附近f'(x)為同號，
故不會產生極值

舉例來說 , y=x^3 在x=0 的附近就是這個情況
希望這樣能解釋到

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-11 11:21 PM 編輯 ]

\(f\left( x \right)=2\left( x-\alpha  \right)\left( x-\beta  \right)\left( x-\gamma  \right)\left( x-\delta  \right)\)

是不是前面這個2 ?

其實跟解不等式的觀念依樣，以本題的結論來說
\(f'\left( x \right)=6\left( x-b \right){{\left( x-c \right)}^{2}}\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\), 各區域的正負號如下
你帶的值在\(\left( 1,c \right)\)之間得到的值一定為正
就算不知道1,-1的相對位置也無妨， 不等式中有\({{\left( x-c \right)}^{2}}\)
就暗示了f'(x)在c的"附近"一定會同號，
這個附近就是一個包含c的"鄰域"的概念(neighborhood  或 open ball)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-12 10:05 PM 編輯 ]

以答案來看，應該是只有4人總分為0，否則答案應該不只44種~敘述是應該要清楚一點

(A,B,C,D) 情況有 (21,-21,7,-7), (21,-7,-7,-7), (-21,7,7,7), (21,-21,21,-21), (7,-7,7,-7)
排列一下剛好44種。

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-13 05:27 PM 編輯 ]

原多項式f的首項係數為2, 所以\(f\left( \sqrt{2} \right)f\left( -\sqrt{2} \right)=4\left( 2-{{\alpha }^{2}} \right)\left( 2-{{\beta }^{2}} \right)\left( 2-{{\gamma }^{2}} \right)\left( 2-{{\delta }^{2}} \right)\)