103嘉義高中

計算2-2
以下提供幾何方式，運用托勒密定理而不用餘弦定理

\(\displaystyle mn=ac+bd \cdots (1) \)

過C作BD平行線與圓交於E，連接EB、ED、EA，那麼 \(\displaystyle BE=CD=c,DE=BC=b \)

再對ABED用托勒密定理得到 \(\displaystyle n \times AE=ab+cd  \cdots (2) \)

同樣的過B作AC的平行線與圓交於F，連接FA、FC、FD，那麼 \(\displaystyle FA=BC=b,FC=AB=a \)

再對AFCD用托勒密定理得到 \(\displaystyle m \times DF=ad+bc  \cdots (3) \)

因為 \(\displaystyle DE=BC=AF \)，所以 \(\displaystyle AE=DF \)

(1)(3)相乘再除以(2) 得到  \(\displaystyle m^2=\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd} \)

(1)(2)相乘再除以(3) 得到  \(\displaystyle n^2=\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc} \)

最後得證

另外，填充12要記公式的話，推薦  \(\displaystyle a \cos A+b \cos B+c \cos C \)
雖不好算，但很實在。

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2014-6-8 10:39 PM 編輯 ]