選擇 2. 迴文數挺有趣的
x 表示非 0，a 可為 0 或非 0
一位數：x ；兩位數：xx
三位數 xax；四位數：xaax
五位數 xaaax；六位數：xaaaax
以上有 \( 9+9+90+90+900+900=1998 \)
\( 2014-1998=16 \)，七位迴文數的第 16 個即為所求
七位的前 10 個為 \( 100a001, a=0,1,2,\ldots,9 \)；
七位的第 11~16 個為 \( 101a101, a=0,1,2,3,4,5 \)
故第 2014 個迴文數為 1015101
填充 7. 人人為我 我為人人
先將 為我我為 看成一樣 XXXX，排列數有 \( \frac{8!}{4!4!} \)
而 XXXX 中，為是最後一個 X，填上「我我為為」等三種排法，
故所求 \( \frac{8!}{4!4!}\cdot3=210 \)
計算 2. 由 \( \displaystyle a_{n+1}-\sqrt{2}=\frac{(2-\sqrt{2})(a_{n}-\sqrt{2})}{a_{n}+2} \) 容易證明此。
填充 4. 另解. 柯西不等式
\( (\cos^{4}\theta+3\sin^{4}\theta)(1+\frac{1}{3})\geq(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)^{2} \)
\( \Rightarrow\cos^{4}\theta+3\sin^{4}\theta\geq\frac{3}{4} \)，等號在 \( \cos^{4}\theta=9\sin^{4}\theta \) 時成立，
即 \(\tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}} \) 時，該函數有最小值 \( \frac{3}{4} \)。
