先做點簡單的
填充第1題：
做直角三角形得到關係式 \({{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( x-\frac{y}{2} \right)}^{2}}={{x}^{2}}\Rightarrow \left( 2x-5y \right)\left( 2x-y \right)=0\)
所以\(y=\frac{2}{5}x\)

填充第2題：
令半徑為r, 頂角為\(2\theta \), 則\(\cos 2\theta =\frac{3}{5}\), \(\cot \theta =2\), 兩圓連心線長度\(2r\),
作圖得知此關係式： \(r\left( \cot \theta +2\cos 2\theta +1 \right)=9\Rightarrow r=\frac{15}{7}\)

填充第4題：
化簡\(f\left( x \right)={{\left( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x \right)}^{2}}-\frac{1}{2}\left( {{\sin }^{2}}2x \right)+2\cdot {{\left( \frac{1-\cos 2x}{2} \right)}^{2}}\) 得到
\(f\left( x \right)={{\left( \cos (2x)-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\) , 故最小值為 \(\frac{3}{4}\)

填充第9題：
\({{r}^{3}}=1-2r\Rightarrow \sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{r}^{3k+1}}}=\frac{r}{1-{{r}^{3}}}=\frac{r}{1-\left( 1-2r \right)}=\frac{1}{2}\)
本題由勘根易知\(r\in \left( 0,1 \right)\), 故題目中\(r\in \left( 0.4,0.5 \right)\)條件去掉應也無傷大雅

計算第4題：
先推出\({{a}_{n}}=\left( 1+1+1 \right)+\left( 2+2+2+2+2 \right)+\ldots \)
先估算\(\sum\limits_{k=1}^{n}{k\left( 2k+1 \right)}\approx 2014\)之\(n\), 求出\(n\)最接近14, 取\(n=13\)時左式和為\(1729\),
表示\({{a}_{195}}=\left[ 1 \right]+\left[ 2 \right]+\ldots +\left[ 195 \right]=1729\),
由\((2014-1729)=14\cdot \left( 20 \right)+5=14\cdot \left( 21 \right)-9\)知再補\(20\)項此時和為\(2009\)最接近\(2014\), 所以所求\(N=215,{{a}_{N}}=2009\)

選擇第3題： (103.06.05：可參考後面        kb750523兄跟寸絲兄的想法，比較簡潔
做表如下，
\(\left[ \begin{matrix}
   {} & Game & Win & Lose(Rest)  \\
   A & x & 22 & x-22  \\
   B & y & 20 & y-20  \\
   C & x & 32 & z-32  \\
\end{matrix} \right]\)
解方程式\(\left\{ \begin{align}
  & x+y+z=2\left( 22+20+32 \right)=148 \\
& x=\left( y-20 \right)+\left( z-32 \right) \\
\end{align} \right.\), 解出 \(x=48\)

2014.06.03 觀念補充：
已知x+y+z=148，考慮4種情況
(1) 第一場是甲乙比或甲丙比，最後一場甲輸，
      此時x=(y-20)+(z-32)+1 , x 解出不為整數，故此情況不合
(2) 第一場是甲乙比或甲丙比，最後一場乙輸或丙輸，
      此時x=(y-20)+(z-32)+1-1 , x =48
(3) 第一場是乙丙比，最後一場甲輸，
      此時x=(y-20)+(z-32) , x =48
(4) 第一場是乙丙比，最後一場乙輸或丙輸，
      此時x=(y-20)+(z-32)-1 , x 解出不為整數，故此情況不合

故本題可能的情形下，均有算式 x=(y-20)+(z-32), x=48
(感謝 peter兄 提醒和 鋼琴老師 的觀念補充)

選擇第1題：
令短邊、長邊長度分別為\(x,y\), 利用面積與圖形的關係可得知聯立方程式
\(\left\{ \begin{align}
  & \left( x+y \right)\cdot \frac{2r}{2}=\frac{25}{4}{{r}^{2}} \\
& {{\left( \left( y-r \right)+\left( x-r \right) \right)}^{2}}-{{\left( \left( y-r \right)-\left( x-r \right) \right)}^{2}}={{\left( 2r \right)}^{2}} \\
\end{align} \right.\), 整理得到
\(\left\{ \begin{align}
  & x+y=\frac{25}{4}r \\
& xy=\frac{25}{4}{{r}^{2}} \\
\end{align} \right.\Rightarrow \frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{xy}=\frac{25}{4}\Rightarrow \left( x-4y \right)\left( 4x-y \right)=0\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{1}{4}\),
怎麼這麼多相切的幾何題…

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-5 05:18 PM 編輯 ]

peter 兄你客氣了~
剛看了你的這個特例，我用我的想法下去帶
解出來的甲的場次是分數，
代表我原本的想法應該是有一些瑕疵，
我原本的想法是：
乙丙每輸一場~均表示甲的出場數會多一場
但看來可能要做個修正~
感謝你的偵錯，是我解法上太粗糙~~差點誤導大家XD

(備註：剛看到鋼琴老師有提供想法，感謝!!)

這個想法的瑕疵點目前看來有兩個：
(1)  一開始挑的兩個人的第一場的場次沒有被加到
(2)  最後一場結束時輸的那一方，我的算法會讓輸方外的其餘兩方再加一場

以peter兄舉的特例來看，怎麼樣補成對的式子呢?
(1) 甲的場次 = 乙輸的場次 +  丙輸的場次 + 第一場甲有比 =1+1+1=3
(2) 乙的場次 = 甲輸的場次 +  丙輸的場次 + 第一場乙有比 - 最後一場甲輸(因為甲輸後下一次是 乙vs丙 ，根據我的算法乙的場次會多加1要扣回來) =2+1+1-1=3
(3) 丙的場次 = 甲輸的場次 +  乙輸的場次  - 最後一場甲輸(因為甲輸後下一次是 乙vs丙 ，根據我的算法丙的場次會多加1要扣回來) =2+1-1=2
目前這樣可以解釋到

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-3 10:41 PM 編輯 ]

感謝鋼琴老師提供想法：)

如鋼琴老師所說，整理一下本題的情形有四大類：
已知x+y+z=148

(1) 第一場是甲乙比或甲丙比，最後一場甲輸，
      此時x=(y-20)+(z-32)+1 , x 解出不為整數，故此情況不合
(2) 第一場是甲乙比或甲丙比，最後一場乙輸或丙輸，
      此時x=(y-20)+(z-32)+1-1 , x =48
(3) 第一場是乙丙比，最後一場甲輸，
      此時x=(y-20)+(z-32) , x =48
(4) 第一場是乙丙比，最後一場乙輸或丙輸，
      此時x=(y-20)+(z-32)-1 , x 解出不為整數，故此情況不合

故本題可能的情形下，均有算式 x=(y-20)+(z-32), x=48
也算是一種蒙對的概念 (慚愧......

感謝        kb750523 兄、寸絲兄，
這一題這樣解法快多了~我的想法繞了依些不必要的路線，感恩。

1樓橢圓兄PO的帖子中參考答案裡面有詳解喔