Hints
Cal1: Show \( (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2014} + ( \sqrt{3} - \sqrt{2} )^{2014} \in \mathbb{N} \) and \( (\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2014} \) is very small.

Cal2: Use distance fomula (in coordinate system) to show \( \overline{PB} : \overline{PD} = 1:2 \)

Cal3: Cauchy inequality implies \( (x^2 +2)(2 + y^2) \geq 2(x+y)^2 \).

Let \( (x,y) = (a,b), (b,c), (c,d), (d,a) \) in the inequality, then we get four inequalities. Combine four inequalities

填 10. 漏掉 2 了

\( f(x) = |1-2x| \)
\( f(f(x)) = \big| 1- 2 |1-2x|  \big| \)
\( f(f(f(x))) = \Big| 1- 2 \big|1-2|1-2x| \big| \Big| \)

填 10. 補充類題
再來一個 amc 2012

Let \( f(x)= |2\{x\}-1| \) where \( \{x\} \) denotes the fractional part of \( x \) . The number \( n \) is the smallest pohsitive integer such that the equation

\( nf(xf(x)) = 2012 \) has at least 2012 real solutions \( x \). What is \( n \) ?

Note: the fractional part of \( x \)  is a real number \( y = \{x\} \) , such that \( 0 \leq y <1 \) and \( x - y \) is an integer.

填 13. 令 \( f(x) \) 為左邊的多項式，\( f(0) = -480 < 0 \), \( f(1) = 154 > 0 \)

由勘根定理知 \( f(x) = 0 \) 在 \( (0,1) \) 中至少一實根

又題幹敘述中 \( f(x) = 0 \) 僅有一實根且為有理根

展開 \( f(x) = 2x^5 + \ldots -480 \)。

由有理根檢驗法，其在 \( (0,1) \) 中的可能有理根僅有  \( x= \frac12 \)，故此唯一有理根為 \( \frac12 \)

寫完才發現，前面有人寫過了

填充 13. #11 hua0127 老師已解
填充 12. #19 linteacher 老師已解
計算 3. #4 有提示

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-10 06:35 PM 編輯 ]

填充 14. 展開平方的式子，寫下變異數的式子

\( \begin{cases}
\sum a_{i} & =12\\
\sum a_{i}^{2}+2\sum a_{i}+n & =82\\
\displaystyle \frac{1}{n}\sum a_{i}^{2}-\frac{(\sum a_{i})^{2}}{n^{2}} & =\frac{1}{2}
\end{cases} \)

將 \( \sum a_i \), \( \sum a_i^2 \), \( n \) 看成三個未知數，解聯立方程式

可得 \( n = \frac83 \) (不合) 或 36

計算 1 的提示則在 #4 之處

是. 圓只有上半圓， 所以 hua0127 只畫了上半圓，沒畫下半圓

上半圓代表 \( y = \sqrt{1-x^2} \)，直線 代表 \( y =x \)，差的絕對值，就是鉛直線段距離，積分，則是線段累積而成區域的面積。

另外，建議善用回復時的標題，標明回復的樓層如回復 26# hua0127的帖子 或 題號

尤其，像這樣隔了一段時間，即使是 hua0127 老師本人，第一眼看到，也不知道您問的問題是什麼？

順手寫下樓層，方便所有人可以快速的找到原帖之前寫了什麼，也是方便要回答疑問的人。

我自己通常習慣用"引用"右右方的"回復"，會自動生成 回復 xx# xxx 的帖子的標題，如果需要引用，則將 xx# xxx 的字複製後，再使用引用回復，貼在標題之處。

沒有這個動作，不妨礙大家閱讀交流，只是要多花時間找到原帖。

一個小動作，方便所有人，何樂而不為