第8題
已知\(\Delta ABC\)的三邊長\(a,b,c\)和面積\(S\)滿足關係式\(S=a^2-(b-c)^2\)，且\(b+c=8\)，則\(\Delta ABC\)的面積\(S\)的最大值為 。
[解答]
代海龍公式:
$$ \sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}{16}}=a^2-(b-c)^2$$
接著左右平方, 化簡得:
$$
\begin{aligned}
&17a^2-17b^2-17c^2+30bc=0\\
\Rightarrow &\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}=\frac{15}{17}=\cos A\\
\Rightarrow &\sin A=\frac{8}{17}
\end{aligned}
$$
又, 由\(b+c=8\)及算幾不等式, 得\(bc\leq16\)
故
$$\triangle ABC = \frac{1}{2}bc\sin A \leq \frac{64}{17}$$
